**[[..:04_teorie_chyb|Teorie chyb]]**
**<<** [[04_teorie_chyb:0403_presnost_mereni|3. Přesnost měření]]\\
**>>** [[04_teorie_chyb:0405_intervalove_odhady|5. Intervalové odhady]]
4. Některá rozdělení náhodných veličin
===== Úvod =====
###
Kromě charakteristik náhodných veličin je nejúplnější charakteristikou tzv. rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, které je udáno vzorcem, grafem, či tabulkou. Uvedeme zde v naší disciplíně nejpoužívanější rozdělení, jak pro diskrétní, tak pro spojité náhodné proměnné a to binomické rozdělení a normální rozdělení. Dále v řadě matematicko - statistických úloh mají zvláštní význam tři rozdělení, která jsou odvozena z normálního rozdělení. Jsou to rozdělení ${\chi }^2$ (čteme chí-kvadrát), Studentovo $t$-rozdělení a Snedecorovo - Fischerovo $F$-rozdělení.
###
===== Binomické rozdělení =====
###
Pro diskrétní náhodnou proměnnou používáme v grafickém vyjádření nejčastěji sloupcovitý graf, zvaný histogram a typickým rozdělením je tzv. binomické rozdělení použitelné při opakovaném pokusu (či měření téže veličiny) za stejných podmínek. Náhodnou veličinou je zde počet výskytů $k$ určitého jevu $x$ (počet chyb stejného znaménka) při provedení $n$ opakování.
Pravděpodobnost je dána vztahem
$P_n\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}
n \\
k\end{array}
\right)p^kq^{n-k}$ pro $k=0\dots \ n$,
kde jsme označili pravděpodobnost zkoumaného jevu $p$ a opačnou pravděpodobnost (pravděpodobnost, že zkoumaný jev nenastane) $q=\ 1\ -\ p$. Tento vztah se též nazývá frekvenční funkcí a pravděpodobnost, že se náhodná proměnná uskuteční až do konkrétního počtu $x$ je dána distribuční funkcí danou zde vztahem:
$F\left(x\right)=\sum^k_{x=0}{\left( \begin{array}{c}
n \\
x \end{array}
\right)p^xq^{n-x}}$ pro $x\in \ \left\langle 0,\ k\right\rangle $.
Základními charakteristikami binomického rozdělení jsou:
$$
E\left(x\right)=n\cdot p,
$$
$$
V\left(x\right)={\sigma }^2=n\cdot p\cdot q.
$$
###
===== Normální rozdělení (Laplace - Gaussovo) =====
###
Toto rozdělení je nejdůležitějším rozdělením spojité náhodné veličiny, kterým lze za jistých podmínek aproximovat i některá rozdělení diskrétní. Obecně lze říci, že toto rozdělení je použitelné všude tam, kde kolísání náhodné veličiny je způsobeno součtem velkého počtu nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů. Matematickým odvozením normálního rozdělení se nebudeme zabývat, velmi názorně však ilustruje vznik normálního rozdělení případ binomického rozdělení s pravděpodobnostmi $p=q=0,5$ (pravděpodobnost výskytu kladné a záporné chyby) a s rostoucím $n\to \infty $.
Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení je dána frekvenční funkcí, jejíž graf je znám pod názvem „Gaussova křivka":
$$
\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\cdot e^{-\frac{{\left(x-E\left(x\right)\right)}^2}{2\cdot {\sigma }^2}} , x\in \left(-\infty ,+\infty \right).
$$
Tato frekvenční funkce má dva parametry a to střední hodnotu $E(x)$ (může být libovolná) a varianci $V(x)=E{\left\{x-E\left(x\right)\right\}}^2={\sigma }^2$. Normální rozdělení značíme $N(E(x),\ {\sigma }^2)$. Frekvenční funkce má vrchol v bodě $x=E(x)$. Distribuční funkce normálního rozdělení bude
$$
F\left(x\right)=\int^x_{-\infty }{\varphi \left(x\right)\ dx}.
$$
Z dalších charakteristik uvedeme momenty
$$
{\mu }_3\left(x\right)=0={\mu }_3\left(t\right),
$$
$$
{\mu }_4\left(x\right)=3\cdot {\sigma }^4,
$$
$$
{\mu }_4\left(t\right)-3=0.
$$
Uvedeme zde také normovanou veličinu $t$, která se získá transformací
$$
t=\frac{\left(x-E\left(x\right)\right)}{\sigma }.
$$
Tato veličina má normované normální rozdělení $N(0,1)$, protože platí relace $E(t)\ =\ 0$, $V(t)=1$. Hustota pravděpodobnosti veličiny $t$ bude
$$
\varphi \left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot e^{-\frac{t^2}{2}} , t\in \left(-\infty ,+\infty \right)
$$
a distribuční funkce
$$
F\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \int^t_{-\infty }{e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt}.
$$
{{ :04_teorie_chyb:040401_normalni_rozdeleni.jpg }}
;#;
Obr. 1 //Normální rozdělení// $N(0,1)$
;#;
Obě funkce se tabelují a tyto tabulky se používají i pro stanovení hodnot hustoty pravděpodobnosti i distribuční funkce nenormovaného normálního rozdělení.
Při praktických aplikacích se při výpočtech vždy nejdříve přechází z náhodné veličiny $x$ na normovanou veličinu $t$, s výhodou se použijí tabulky $\varphi(t)$ a $F(t)$ a přejde se zpět na veličinu $x$. Tabelace obou funkcí se často omezuje na nezáporná $t$. Hodnoty pro $t<0$ se odvozují ze vztahů
$$
\varphi \left(-t\right)=\varphi \left(t\right),
$$
$$
F\left(-t\right)=1-F\left(t\right).
$$
V praxi se často využívá symetrie frekvenční funkce normálního rozdělení a tabeluje se místo distribuční funkce tzv. Laplaceova funkce (pro $t\ge 0$)
$$
G\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \int^t_0{e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt}=F\left(t\right)-0,5,
$$
pro kterou platí následující relace: $G(0)=0$; $G(\infty )=0,5$; $G(-t)=-G(t)$; $G(-\infty )$$=-0,5$.
Pro stanovení pravděpodobnosti, že náhodná veličina s rozdělením $N(E(x);{\sigma }^2)$ nabude hodnoty z nějakého intervalu $\left(x_1,\ x_2\right)$ postupujeme tak, že stanovíme dolní mez normované veličiny $t_1$, stanovíme dolní mez normované veličiny $t_2$:
$$
t_{{\rm 1}}{\rm =}\frac{\left(x_{{\rm 1}}{\rm -}E\left(x\right)\right)}{\sigma },
$$
$$
t_{{\rm 2}}{\rm =}\frac{\left(x_{{\rm 2}}{\rm -}E\left(x\right)\right)}{\sigma }.
$$
Hledaná pravděpodobnost pak bude:
$$
P\left(x_1