**[[..:04_teorie_chyb|Teorie chyb]]** **<<** [[04_teorie_chyb:0404_nektera_rozdeleni_nahodny_velicin|4. Některá rozdělení náhodných veličin]]\\ **>>** [[04_teorie_chyb:0406_vicerozmerna_nahodna_velicina|6. Vícerozměrná náhodná veličina]] 5. Intervalové odhady ===== Úvod ===== ### Z charakteristik rozptylu, polohy a vlastností jednotlivých rozdělení umíme sestavit tzv. intervaly spolehlivostiinterval spolehlivosti, tj. stanovit intervaly, ve kterých s jistou pravděpodobností budeme očekávat naměřené hodnoty $x$. Tento odhad později rozšíříme na očekávání, jak daleko od vypočtené hodnoty (získané např. vyrovnáním) může být hodnota pravá $X$. Interval spolehlivosti se obvykle vyjadřuje ve tvaru: $$ P\left(X-t\cdot {\overline{m}}_x{{ :04_teorie_chyb:040501_intervaly_spolehlivosti.jpg }} ;#; Obr. 1 //Intervaly spolehlivosti// ;#; ### ===== Intervaly spolehlivosti pro parametry normálního rozdělení ===== ==== Interval spolehlivosti pro střední hodnotu základního souboru ==== ### Mějme náhodný výběr ${\mathbf x}={\left(x_1,x_2,...,x_n\right)}^T$ z rozdělení $N(X;{\sigma }^2)$. Odlišíme případ, kdy známe a kdy neznáme varianci ${\sigma }^2$. Uvažujme případ, kdy známe ${\sigma }^2$ a hledáme interval spolehlivosti pro parametr $X$. Nestranným odhadem parametru $X$ je výběrový průměr $$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}{x_i} ;$$ vytvoříme funkci $$\lambda =\frac{\overline{x}-X}{\sigma }\sqrt{n} ,$$ který má rozdělení $N(0;1)$, tj. rozdělení, nezávislé na neznámém parametru $X$. Pro daná $p_1$ a $p_2$, $p_1+p_2=\alpha $ najdeme z tabulek normálního rozdělení $N(0;1)$ hodnoty: $-t_{p_1}$ a $t_{p_2}$, které použijeme pro rovnici $$ P\left(-t_{p_1}<\frac{\overline{x}-X}{\sigma }\sqrt{n}\overline{x}-t_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}} $$ a v případě $p_1=\alpha $ a $p_2=0$ dostáváme jednostranný (pravostranný) interval spolehlivosti $$ X<\overline{x}+t_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}} . $$ V případě, že neznáme ${\sigma }^2$ a hledáme interval spolehlivosti pro neznámý parametr $X$, bude opět nestranným odhadem parametru $X$ výběrový průměr $\overline{x}$, vytvoříme ale funkci $$ {\lambda }'=\frac{\overline{x}-X}{m}\sqrt{n} , $$ kde $m$ je výběrová střední chyba; veličina $\lambda '$ má pak Studentovo $t$-rozdělení $t(n')$, kde $n'$ je počet stupňů volnosti střední chyby $m$. Další postup je obdobný jako v případě známého ${\sigma }^2$. Pro daná $p_1$ a $p_2$ při $p_1+p_2=\alpha $ můžeme vytvořit tyto $100\cdot (1-\alpha )$ procentní intervaly spolehlivosti: * **oboustranný** $$ \overline{x}-t_{p_2}\frac{m}{\sqrt{n}}\overline{x}-t_{\alpha }\frac{m}{\sqrt{n}} , $$ * **pravostranný** při $p_1=\alpha $ a $p_2=0$ $$ X<\overline{x}+t_{\alpha }\frac{m}{\sqrt{n}} , $$ kde hodnoty $t_{p_1}$, $t_{p_2}$, nebo $t_{\alpha }$ vyhledáme z tabulek Studentova rozdělení. * **Poznámka:** Pro $n'>30$ lze přibližně nahradit Studentovo rozdělení normálním rozdělením $N(0;1)$, takže při splnění podmínky $n'>30$ lze hodnoty $t_{p_1}$, $t_{p_2}$, nebo $t_{\alpha }$ vyhledat z tabulek normálního rozdělení $N(0;1)$. ### ==== Interval spolehlivosti pro varianci základního souboru ==== ### Mějme náhodný výběr ${\mathbf x}{\mathbf \ }=\ {\left(x_1,x_2,...,\ x_n\right)}^T$ z rozdělení $N(X;{\sigma }^2)$. Odlišíme případ, kdy známe a kdy neznáme střední hodnotu $E(x)=X$. Uvažujme případ, kdy známe $X$ a hledáme interval spolehlivosti pro parametr ${\sigma }^2$. Nejlepším nestranným odhadem parametru je ${\sigma }^2$je charakteristika $$ s^2=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}{{\left(X-x_i\right)}^2}, $$ Protože veličina $$ {\chi }^2=\frac{n\ s^2}{{\sigma }^2}, $$ má ${\chi }^2$-rozdělení ${\chi }^2(n)$, platí rovnice $$ P\left\{{\chi }^2_{1-p_1}\left(n\right)<\frac{n\ s^2}{{\sigma }^2}<{\chi }^2_{p_2}\left(n\right)\right\}=1-\alpha , $$ kde ${\chi }^2_{1-p_1}\left(n\right)$ a ${\chi }^2_{p_2}\left(n\right)$ jsou kritické hodnoty rozdělení ${\chi }^2\left(n\right)$ vyhledané v tabulkách pro hodnoty $(1\ -\ p_1)$ a $p_2$, kde $p_1+p_2=\alpha $. Je tedy $100\cdot (1-\alpha )$ procentním intervalem spolehlivosti pro parametr ${\sigma }^2$ interval $$ \frac{n\ s^2}{{\chi }^2_{p_2}\left(n\right)}<{\sigma }^2<\frac{n\ s^2}{{\chi }^2_{1-p_1}\left(n\right)} $$ a $100\cdot (1-\alpha )$ procentním intervalem spolehlivosti pro střední kvadratickou odchylku interval $$ \sqrt{\frac{n\ s^2}{{\chi }^2_{p_2}\left(n\right)}}<\sigma <\sqrt{\frac{n\ s^2}{{\chi }^2_{1-p_1}\left(n\right)}}. $$ Z uvedených vzorců pro oboustranný interval spolehlivosti se dostanou vzorce pro jednostranné intervaly tak, že položíme * při levostranném intervalu $p_1=0$ a $p_2=\alpha $, * při pravostranném intervalu $p_1=\alpha $ a $p_2=0$. V případě, že neznáme $X$ a hledáme interval spolehlivosti pro parametr ${\sigma }^2$, je nejlepším nestranným odhadem charakteristika $$ m^2=\frac{1}{n'}\sum^n_{i=1}{{\left(\overline{x}-x_i\right)}^2}. $$ Protože veličina $$ {\chi }^2=\frac{n'\cdot \ m^2}{{\sigma }^2} $$ má ${\chi }^2$ rozdělení ${\chi }^2\left(n'\right)$, kde $n'$ je počet stupňů volnosti $m^2$, dostaneme obdobnou úvahou jako u známého $X$ $100\cdot (1-\alpha )$ procentní interval spolehlivosti pro parametr ${\sigma }^2$ $$ \frac{n{\rm '\ }m^{{\rm 2}}}{{\chi }^{{\rm 2}}_{p{\rm 2}}\left(n{\rm '}\right)}{\rm <}{\sigma }^{{\rm 2}}{\rm <}\frac{n{\rm '\ }m^{{\rm 2}}}{{\chi }^{{\rm 2}}_{{\rm 1-}p{\rm 1}}\left(n{\rm '}\right)} $$ a $100\cdot (1-\alpha )$ procentní interval spolehlivosti pro střední kvadratickou odchylku $$ \sqrt{\frac{n'\ m^2}{{\chi }^2_{p_2}\left(n'\right)}}< \sigma <\sqrt{\frac{n'\ m^2}{{\chi }^2_{1-p_1}\left(n'\right)}}, $$ Kde ${\chi }^2_{1-P_1}$ a ${\chi }^2_{P_2}$ jsou kritické hodnoty rozdělení ${\chi }^2\left(n'\right)$ a $n'=n-k$ je počet stupňů volnosti při určování $m^2$. V případě, že $\overline{x}$ určíme jako výběrový průměr, pak $n'=n-1$. Jednostranné intervaly určíme obdobným způsobem jako při známém $X$. ### ---- **<<** [[04_teorie_chyb:0404_nektera_rozdeleni_nahodny_velicin|4. Některá rozdělení náhodných veličin]]\\ **>>** [[04_teorie_chyb:0406_vicerozmerna_nahodna_velicina|6. Vícerozměrná náhodná veličina]]