Teorie chyb

« 1. Základy teorie chyb měření
» 3. Přesnost měření

2. Zákonitosti náhodných chyb. Elementární chyby, základní a výběrové míry přesnosti

Úvod

Náhodné měřické chyby měřické jsme definovali jako chyby, které jednotlivě nepodléhají žádným zákonitostem. Nemůžeme např. předvídat, jaká bude velikost nebo znaménko chyby právě prováděného měření. Zkušenost však ukazuje, že při větším množství měření stejného druhu nebo téže veličiny můžeme pozorovat u náhodných chyb stejné zákonitosti jako u hromadných náhodných jevů. Náhodné chyby stejného druhu mají charakter náhodné veličiny s příslušným rozdělením.

Zákonitosti u náhodných chyb stejného druhu vyniknou již v menších souborech (stačí i několik desítek), jestliže chyby uspořádáme podle velikosti, sdružíme do 8 -12 tříd a jejich počty vyneseme graficky v podobě histogramu Obr. 1.

Rozdělení četností náhodných chyb

Obr. 1 Rozdělení četností náhodných chyb

Na základě empiricky zjištěných vlastností náhodných chyb formuloval již GAUSS tyto jejich zákonitosti:

  • a) pravděpodobnost vzniku kladné nebo záporné chyby určité velikosti je stejná (ve velkých kolektivech chyb bude relativní četnost chyb obojího znaménka přibližně stejná a to celkově i v jednotlivých třídách);
  • b) malé chyby jsou pravděpodobnější (četnější) než velké - pravděpodobnost výskytu chyb je funkcí jejich velikosti;
  • c) chyby nad určitou mez se nevyskytují (při překročení meze je považujeme za hrubé - nenáleží do základního souboru náhodných chyb).

Tyto náhodné chyby - náhodné veličiny mají své charakteristiky.

Charakteristiky náhodných veličin

Pro úplný popis náhodné veličiny je potřeba vymezit hodnoty, jichž může náhodná veličina nabývat a znát pravděpodobnosti těchto hodnot. Zákon rozdělení (tj. předpis, který každé hodnotě náhodné proměnné přiřazuje její pravděpodobnost výskytu) podává o veličině sice úplný obraz pomocí svých parametrů, ale tento obraz bývá často velmi nepřehledný. Proto často určujeme jedno nebo více čísel, která veličinu a její rozdělení co možná nejlépe charakterizují. Tato čísla nazýváme charakteristikami. Z velkého množství různých charakteristik se budeme zabývat těmi nejdůležitějšími, které popisují hlavní vlastnosti rozdělení náhodné veličiny jako polohupoloha, proměnlivostproměnlivost, šikmostšikmost a špičatostšpičatost.

Základními charakteristikami jsou charakteristiky polohy daného rozdělení. Tyto charakteristiky reprezentují jakýsi střed celého rozdělení. Kolem tohoto středu hodnoty náhodné veličiny kolísají a koncentraci nebo rozptýlení hodnot kolem charakteristiky polohy měříme tzv. charakteristikami proměnlivosti (rozptylu). Důležitou vlastností náhodné veličiny je i případná symetrie nebo asymetrie rozdělení kolem středu, kterou budeme měřit charakteristikou šikmosti a konečně okolnost, zda rozdělení bude špičatější nebo plošší, bude vyjádřena charakteristikou špičatosti (excesu). Teoreticky nejlépe propracovanými charakteristikami jsou tzv. momenty. Pro jejich zavedení je důležitý pojem střední hodnoty:

  • pro diskrétní náhodnou veličinu $x$ s hodnotami $x_i$ a jejich pravděpodobnostmi $P(x_i)$ je střední hodnota $E(x)$ definována vztahem

$$
E\left(x\right)=\sum_{x_i}{x_i}\cdot P\left(x_i\right),         
$$

  • pro spojitou náhodnou veličinu $x$ s hustotou pravděpodobnosti $\varphi (x)$ je střední hodnota $E(x)$ definována vztahem

$$
E\left(x\right)=\int^{\infty }_{-\infty }{x\cdot \varphi \left(x\right)\ dx}.        
$$

Pro práci se středními hodnotami náhodných veličin si vyslovíme bez důkazu tři věty:

  • Věta 1: Střední hodnota součinu konstanty a náhodné veličiny je rovna součinu konstanty a střední hodnoty této náhodné veličiny

$$
E\left(k\cdot x\right)=k\cdot E\left(x\right).          
$$

  • Věta 2: Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin $x$ a $y$ je rovna součtu středních hodnot těchto veličin

$$
E\left(x+y\right)=E\left(x\right)+E(y).        
$$

  • Věta 3: Střední hodnota součinu dvou nezávislých náhodných veličin $x$ a $y$ je rovna součinu jejich středních hodnot

$$
E\left(x\cdot {\rm y}\right){\rm =}E\left(x\right)\cdot E\left(y\right).         
$$

Nyní můžeme přistoupit k objasnění momentů. Rozeznáváme:

  • obecné momenty (kolem počátku);
  • centrální momenty (kolem střední hodnoty).

Všechny momenty lze vyjádřit pomocí střední hodnoty. To umožní zejména spojit případ diskrétní a spojité náhodné veličiny. Obecný moment $k$-tého řádu je dán vztahem:

$$
v_k=E\left(x^k\right).           
$$

Centrální moment $k$-tého řádu je dán vztahem:

$$
{\mu }_k=E{\left\{x-E\left(x\right)\right\}}^k=E{\left\{x-v_1\right\}}^k.       
$$

Charakteristiky polohy

Tyto charakteristiky reprezentují vlastně jakýsi ideální střed souboru náhodných veličin, kolem kterého se ostatní hodnoty kumulují. Je to vlastně odhad pravé hodnoty, u základního souboru přímo pravá hodnota. Základní charakteristikou polohy je střední hodnota. Je zřejmé, že střední hodnota je vlastně prvým obecným momentem. Další charakteristikou polohy je mediánmedián. Je to hodnota, která dělí obor náhodné veličiny na dvě stejně pravděpodobné poloviny:

$$
P\left(x\ge x_{med}\right)=P\left(x\le x_{med}\right)=0,5.       
$$

Jako charakteristiky polohy se méně často používají i další hodnoty např. modus modus- u diskrétní náhodné veličiny hodnota s největší četností a aritmetický průměr $x_{AP}$

$$
x_{AP}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n},          
$$

což je vlastně zvláštní případ střední hodnoty $E(x)$.

Charakteristiky proměnlivosti

Tyto charakteristiky nám ukazují, jakým způsobem se měřené hodnoty kumulují kolem střední hodnoty. Zda jsou více či méně rozptýlené či koncentrované. Základní charakteristikou proměnlivosti je střední kvadratická odchylka od střední hodnoty (standard, směrodatná odchylka) $\sigma $ a je dána vztahem:

$$
\sigma =\sqrt{V\left(x\right)},           
$$

kde $V(x)$ je tzv. variancevariance (disperzedisperze, rozptylrozptyl), tj. míra koncentrace uvažovaných hodnot (výsledků měření), definovaná jako druhý centrální momentmoment:druhý centrální

$$
V\left(x\right)=E{\left\{x-E\left(x\right)\right\}}^2={\sigma }^2.        
$$

Důležité místo v matematické statistice zaujímá náhodná veličina $t$ ve tvaru

$$
t=\frac{\left\{x-E\left(x\right)\right\}}{\sigma },           
$$

která se nazývá normovanou (standardizovanou) náhodnou veličinouveličina:normovaná náhodná. Snadno lze dokázat důležité vlastnosti této veličiny a to

střední hodnota $E\left(t\right)=0\ $,

variance $V\left(t\right)=1$.

Dalšími charakteristikami proměnlivosti jsou:

  • průměrná (lineární) odchylka od střední hodnoty, což je první absolutní centrální moment

$$
{\mu }_{\left|1\right|}=E\left\{\left|x-E(x)\right|\right\},         
$$

  • pravděpodobná odchylka od střední hodnoty $r$, což je medián absolutních odchylek od střední hodnoty a je definována vztahem

$$
P\left(r<\left|x-E\left(x\right)\right|\right)=P\left(r>\left|x-E\left(x\right)\right|\right)=0,5.     
$$

Charakteristiky šikmosti a špičatosti

Tyto charakteristiky nám říkají, zda na náhodnou veličinu (měření) nepůsobil faktor, který způsobí asymetrii - šikmost a zda se oproti teorii nevyskytují např. více chyby malé na úkor velkých či naopak, což zapříčiní jakousi „špičatost“ či „plochost“ oproti klasické křivce rozdělení pravděpodobnosti. Nejpoužívanější charakteristikou šikmosti je třetí normovaný moment, tzv. koeficient šikmosti (asymetrie):

$$
A={\mu }_3\left(t\right)=\frac{{\mu }_3\left(x\right)}{{\sigma }^3}.         
$$

U symetrických rozdělení je tato charakteristika rovna 0. Pro měření špičatosti se může použít čtvrtý normovaný moment

$$
{\mu }_4\left(t\right)=\frac{{\mu }_4\left(x\right)}{{\sigma }^4}.          
$$

Prakticky se jako charakteristika špičatosti používá tzv. koeficient špičatosti (excesu)

$$
{\mu }_4\left(t\right)-3=\frac{{\mu }_4\left(x\right)}{{\sigma }^4}-3\ ,         
$$

který je pro normální rozdělení roven 0. Při kladné hodnotě koeficientu je rozdělení ve srovnání s normálním rozdělením špičatější, při záporné hodnotě je rozdělení plošší.

Elementární chyby

Každé měření se skládá z několika úkonů, které dohromady dávají více vzájemně nezávislých příčin, z nichž každá může být zdrojem jiné chyby. Výsledná chyba ve výsledku měření je vždy algebraický součet elementárních chyb různého znaménka a velikosti.

Při měření délek pásmem je výsledek součtem celkem jednoduchých úkonů s malým počtem malých elementárních chyb (např. přiřazování počátku a staničení konce pásma, změny v napínání). U nivelace se uplatňují především chyby v cílení a v urovnání libely. Při každém kladu pásma nebo na každém stanovisku nivelačního přístroje však vznikají vzájemně nezávislé chyby jiných velikostí a náhodného znaménka. Proto i zde bude konečná chyba ve výsledné délce (součtu více kladů pásma) nebo v převýšení (součtu převýšení z jednotlivých stanovisek) algebraický součet velkého počtu malých elementárních chyb.

Zkušenost a statistické rozbory souborů měřických chyb nás vedou k přesvědčení, že „každá náhodná chyba vznikla kombinací většího počtu elementárních chyb různé velikosti, jejichž znaménko je stejně náhodné jako např. vytažení bílé nebo černé koule z urny se stejným počtem koulí obou barev“.

Podle toho vysvětlujeme vznik např. velké kladné chyby jako náhodné střetnutí výhradně nebo silné většiny kladných elementárních chyb; vznik malé chyby jako střetnutí elementárních chyb různého znaménka, přičemž se jejich vliv z velké části vzájemně kompenzoval. Dostáváme tak názorné vysvětlení, proč v řadě měření téže veličiny stejnou metodou a při stejné pečlivosti měření vznikají chyby různé velikosti.

Základní soubor chyb

Jednotlivé měření $l_i$ vzniká jako algebraický rozdíl skutečné hodnoty veličiny a chyby $l_i=L\ -\ {\varepsilon }_i$. Náhodná číselná hodnota chyby ${\varepsilon }_i$ vznikla jako náhodná kompozice velkého počtu malých elementárních chyb. Určité metodě měření dané fyzikální veličiny přísluší předem určitý konečný počet $s$ elementárních chyb $\delta $, které mohou náhodně a spojitě nabývat libovolné kladné nebo záporné hodnoty v určitých konečných intervalech. Určitá hodnota chyby

$$
{\varepsilon }_i={\left(\sum^s_{j=1}{{\delta }_j}\right)}_i 
$$

vznikla jako $i$-tá kompozice z náhodných hodnot elementárních chyb. Všech variací v kompozicích všech možných hodnot elementárních chyb by byl nekonečný počet a teoreticky by i chyba (a také měření $l$) měla nabývat spojitě nekonečně mnoha možných hodnot v konečném intervalu:

$$
\pm {\varepsilon }_{max}=\pm \sum^s_{j=1}{{\left|{\delta }_j\right|}_{max}}.        
$$

Ve skutečnosti však měření čteme v určitém nejmenším dílku, počítáme nebo zaokrouhlujeme na určité desetinné místo (citlivost měření je omezena). Proto každé metodě měření dané veličiny předem přísluší určitý fiktivní základní soubor s konečným počtem měření nebo chyb, které tvoří diskrétní řadu.

Předpokládejme nejprve, že elementární chyby jsou náhodné, takže platí

$$
E\left(\delta \right)=0 , {\varepsilon }_i={\left(\sum^s_{j=1}{{\delta }_j}\right)}_i ,         
$$

$$
E\left(\varepsilon \right)=0, E\left(l\right)=L ,          
$$

tj. střední hodnota každé jednotlivé elementární chyby je nulová a také střední hodnota náhodné chyby je nulová a střední hodnota měření je skutečnou hodnotou měřené veličiny. Odtud plynou i limitní vztahy

$$
{\mathop{\lim }_{n\to \infty } \frac{\left[\varepsilon \right]}{n}\ }=0,          
$$

$$
{\mathop{\lim }_{n\to \infty } \frac{\left[l\right]}{n}\ }={\mathop{\lim }_{n\to \infty } \overline{l}\ }=L. 
$$

Platí, protože v nekonečně velikém souboru se podle zákona velkých čísel uplatní všechny možné hodnoty chyb podle svých apriorních pravděpodobností (stejných pro kladnou i zápornou hodnotu chyby dané velikosti). Největší pravděpodobnost (i když velmi malá) přísluší chybě $\varepsilon \ =\ 0$. Nulová střední hodnota chyby $E(\varepsilon )\ =\ 0$ udává nulovou polohu centra základního souboru náhodných chyb. Platnost limitních vztahů je omezena citlivostí měření.


« 1. Základy teorie chyb měření
» 3. Přesnost měření

Slovník

 
04_teorie_chyb/0402_zakonitosti_nahodnych_chyb.txt · Poslední úprava: 2016/06/01 07:48 (upraveno mimo DokuWiki)
Recent changes RSS feed Creative Commons License Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki
Drupal Garland Theme for Dokuwiki