04_teorie_chyb:0407_chyby_dvojrozmerne | IngGeo

« 6. Vícerozměrná náhodná veličina
» 8. Zákon rozdělení chyb v prostoru

7. Chyby dvojrozměrné

Úvod

Přejdeme nyní k případu, kdy rozptylový obrazec je plošný. Jako příklad zvolme střelbu z děla na cíl $0$ (Obr. 1). Každému zásahu $P_i$ bude příslušet chyba ${\varepsilon }_i=\overline{OP_i}$ ; tato spojnice dává směr i velikost chyby. Také zde bude platit Gaussův zákon o větší četnosti malých chyb. Chyby se však nyní rozptylují na ploše ohraničené obvodem největších nevyhnutelných chyb, jaké můžeme připustit.

K určení tvaru dvojrozměrného rozdělení musíme uvažovat plošný element rozptylové roviny. K tomu zvolíme osy souřadnic $x$ , $y$ v podélném a příčném směru s počátkem v cíli $0$ . Každý chybový bod bude mít nyní souřadnici $x$ (stranová úchylka) a souřadnici $y$ (délková úchylka). Chyba $\varepsilon =\overline{OP}$ bude výsledná chyba, vzniklá střetnutím dvou vzájemně nezávislých chyb v podélném a příčném směru $x$ a $y$ . Výsledná chyba je dána velikostí úsečky $\varepsilon =\overline{OP}$ :

$\varepsilon =\sqrt{x^2+y^2}.$

U plošných chyb neexistuji kladné a záporné chyby.

Poznámka: Mezi dvojrozměrné chyby nepatří výsledné chyby, které vznikají pouze algebraickým součtem dvou nezávislých chyb $\varepsilon =x\pm y$ .

Pravděpodobnostní element, že chyba $\varepsilon$ bude v mezích $x$ a $x+dx$ je ${\varphi }_1(x)dx$ a že bude v mezích $y$ a $y+dy$ je ${\varphi }_1(y)dy$ . Dvojrozměrný pravděpodobnostní element, že chyba $\varepsilon$ padne do plošného elementu $dx\cdot dy$ se souřadnicemi rohu $x$ , $y$ bude součinem obou jednorozměrných pravděpodobnostních elementů

${\varphi }_1\left(x\right)\cdot {\varphi }_1\left(y\right)\ dx\ dy={\varphi }_2\left(x,\ y\right)\ dx\ dy,$

kde funkci $P_2={\varphi }_2(x,y)$ nazýváme sdruženou hustotou pravděpodobnosti. Chyby $\varepsilon$ se nazývají chyby dvojrozměrné (Obr. 1).

Obr. 1 Elipsa chyb

Elipsa chyb

Předpokládejme, že chyby $x$ a $y$ mají normální rozdělení s centry $E(x)=0$ , $E(y)=0$ a že variance obou proměnných nejsou stejné:

${\sigma }_x=\overline{m_x}=\sqrt{E\left(x^2\right)} , {\sigma }_y=\overline{m_y}=\sqrt{E\left(y^2\right)} , {\sigma }_x\ne {\sigma }_y .$

Vyjádřením veličiny $P_2$ dostaneme pravděpodobnostní element v soustavě dvou náhodných, normálně rozdělených veličin, které jsou vzájemně nezávislé

$P_2=\frac{1}{2\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}e^{-\frac{1}{2}\left\{\frac{x^2}{{{\sigma }_x}^2}+\frac{y^2}{{{\sigma }_y}^2}\right\}}dx\ dy.$

Body stejné sdružené hustoty pravděpodobnosti ${\varphi }_2(x,y)=konst.$ budou nyní tvořit soustavu soustředných a souosých elips, daných rovnicemi

$\frac{x^2}{{\sigma }^2_x}+\frac{y^2}{{\sigma }^2_y}=t^2 , \frac{x^2}{{\left(t{\sigma }_x\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(t{\sigma }_y\right)}^2}=1,$

které se nazývají elipsy chyb stejné hustoty pravděpodobnosti, zkráceně elipsy chyb (Obr. 1). Volbou proměnné $t$ definujeme hustotu pravděpodobnosti na elipse chyb; přitom střední souřadnicové chyby ${\sigma }_x$ , ${\sigma }_y$ jsou konstantní pro soubor elips náležející určitému souboru chyb. Osový tvar elips chyb je

$\frac{x^{{\rm 2}}}{{{\rm a}}^{{\rm 2}}}{\rm +}\frac{y^{{\rm 2}}}{{{\rm b}}^{{\rm 2}}}{\rm =1} ,$

kde $a=t\cdot {\sigma }_x$ , $b=t{\cdot \sigma }_y$ ,

čímž vynikne podstata proměnné $t$ . Osy elips chyb jsou v poměru středních chyb souřadnicových $a_i:b_i={\sigma }_x{\rm :}{\sigma }_y$ ve zvoleném případě leží na osách $x$ , $y$ .

Na obvodě elipsy chyb leží nyní polohové chyby $\varepsilon =\sqrt{x^2+y^2}$ , které mají stejnou sdruženou hustotu pravděpodobnosti ${\varphi }_2(x,y)=konst.$ , avšak nemají stejnou velikost ( $\varepsilon \ne konst.$ ). Extrémní velikosti padnou právě do směru souřadnicových os $x$ , $y$ , se kterými zde splývají směry os elips.

Po obvodě kružnice chyb stejné velikosti ( $\varepsilon =konst.$ ) by se opět měnila sdružená hustota pravděpodobnosti ${\varphi }_2(x,y)\ne konst.$ ; extrémní hustoty jsou opět v průsečících kružnice s osami pravděpodobností $x$ a $y$ .

Sdružená hustota pravděpodobnosti ${\varphi }_2(x,y)$ plošných elementů bude proměnlivá s místem, maximální v cíli $0$ ( $x=0,y=0,\varepsilon =0$ ) a klesající s rostoucí hodnotou proměnné $t$ . Vyneseme-li hodnoty hustot na kolmice k rovině $(x,y)$ , dají zvonovité těleso, k němuž je rovina $(x,y)$ asymptotická (Obr. 1). Řezy rovnoběžné s rovinou $(x,y)$ dají elipsy, jejímiž průměty jsou elipsy chyb. Řezy rovnoběžné s rovinou $(x,z)$ , kdy $y=konst.$ , dají soubor vzájemně podobných Gaussových křivek $z=K_y{\varphi }_1(x)$ , kde $K_y$ se mění se vzdáleností $y$ řezu od roviny $(x,z)$ . Řezy rovnoběžné s rovinou $(y,z)$ , kde $x=konst.$ , dají opět soubor podobných Gaussových křivek $z=K_x{\varphi }_1(y)$ , jejich tvar však bude odlišný od tvaru křivek prvního souboru. Gaussova křivka vzniká i v libovolném řezu, pokud obsahuje osu $z$ .

K lepšímu osvětlení nalezených zákonů podáme geometrický názorný příklad. Kdybychom vystřelili dostatečný počet $n$ plastických střel, které se přilepí na terč, vytvoří se (při normálním rozdělení chyb ve směrech obou souřadnicových os) uvedené zvonovité těleso. Kdybychom po střelbě odstranili cíl, pak podle MNČ (metody nejmenších čtverců) odhadneme jeho nejpravděpodobnější polohu v těžišti zásahů.

Po zavedení proměnné $t$ je možno vyjádřit

${\varphi }_2\left(x,y\right)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}e^{-\frac{1}{2}\left\{\frac{x^2}{{\sigma }^2_x}+\frac{y^2}{{\sigma }^2_y}\right\}}dx\ dy=\frac{1}{2\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}e^{-\frac{t^2}{2}}dx\ dy,$

což je sdružená hustota pravděpodobnosti, platící po celém obvodě elipsy, která přísluší parametru $t$ s osami $a={\sigma }_x\cdot t$ , $b={\sigma }_y\cdot t$ . Hodnoty ${\sigma }_x$ , ${\sigma }_y$ považujeme za dané. Elipsa, pro kterou platí $t=1$ , má hlavní poloosy rovné středním souřadnicovým chybám $a={\sigma }_x$ , $b={\sigma }_y$ a nazývá se střední elipsa chyb.

Další definice:

Chyba v poloze bodu:

$\varepsilon {\rm =}\sqrt{x^{{\rm 2}}{\rm +}y^{{\rm 2}}}.$

Střední polohová chyba (podle vžité definice):

${\sigma }_P=\sqrt{E\left({\varepsilon }^2\right)}=\sqrt{E\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{{{\sigma }_x}^{{\rm 2}}{\rm +}{{\sigma }_y}^{{\rm 2}}}.$

Střední chyba v jejím odhadu z konečného souboru $n$ chyb nebo oprav:

${\overline{\mu }}_P\approx {\sigma }_P\frac{1}{\sqrt{2n}} ,$

nebo

${\overline{\mu }}_P\approx {\sigma }_P\frac{1}{\sqrt{2\left(n-1\right)}} ,$

podle toho, půjde-li o skutečné chyby nebo opravy k aritmetickým průměrům. V případě ${\sigma }_x={\sigma }_y\ =\sigma$ je ${\sigma }_P=\sigma \sqrt{2}$ . Proto jako kritérium přesnosti polohy bodu je vhodnější volit

${\sigma }_{xy}=\sqrt{\frac{{\sigma }^2_x+{\sigma }^2_y}{2}}$

s názvem „střední chyba souřadnicová“. Je to přibližně střední vzdálenost bodů na obvodě střední elipsy chyb od centra (bezchybné nebo vyrovnané polohy).

Kružnice chyb

V případě stejné přesnosti měření v obou osách

${\sigma }_x={\sigma }_y=\sigma , t=\frac{\varepsilon }{\sigma } , {\sigma }_P=\sigma \cdot \sqrt{2}$

přejdou elipsy chyb v kružnice chyb o poloměru $\varepsilon$ . Pravděpodobnost, že chyba $\varepsilon$ bude ležet v diferenciálním mezikruží, bude vyjádřena rovnicí

${\varphi }_2\left(\varepsilon \right)d\varepsilon =\frac{1}{{\sigma }^2}\cdot \varepsilon \cdot e^{-\frac{{\varepsilon }^2}{2{\sigma }^2}}d\varepsilon , {\varphi }_2\left(t\right)dt=t\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}dt,$

tabelované hodnoty i grafy funkce ${\varphi }_2(t)$ jsou shodné jako u elipsy chyb. Střední elipsa chyb se v tomto případě nazývá „střední kružnice chyb“.

Stočené soustavy chybových souřadnic x, y

V předešlém případě osy souřadnic $x$ , $y$ splývaly s osami extrémních chyb v souboru elips chyb. Nyní přejdeme k případu, že dvojrozměrné rozdělení dává elipsy stejné hustoty pravděpodobnosti, jejichž hlavní osy $\xi$ , $\eta$ nesplývají s naší soustavou souřadnic $x$ , $y$ , v níž odměřujeme velikost chyb (Obr. 2).

Obr. 2 Stočená soustava chybových souřadnicových os

Eventuální systematický posun těžiště chyb $T$ vzhledem k počátku $0$ souřadnic zjistíme průměry souřadnic

$x_T=\frac{\left[x\right]}{n}\ ,\ y_T=\frac{\left[y\right]}{n}.$

Stočení os u elips chyb vzhledem k užitým osám chybových souřadnic $(x,y)$ se projeví významnou hodnotou součtu $[x_iy_i]$ , která v nestočené poloze a gaussovském souboru má dávat $0$ (Obr. 2). Naším úkolem bude najít početně hodnotu úhlu stočení $\omega$ a hodnoty extrémních středních chyb $m_{\xi }$ , $m_{\eta }$ ve směru os pravděpodobností.

Označme původní odměřené souřadnice chybových bodů $x$ , $y$ . Jejich redukcí na souřadnice

${x'}_i=x_i-\frac{\left[x\right]}{n}\ ,\ {y'}_i=y_i-\frac{\left[y\right]}{n},$

(s kontrolou $[x']=0$ , $[y']=0$ ) posuneme počátek $0$ souřadnic $(x',y')$ do těžiště $T$ . Podle Obr. 2 (část c) použijeme obvyklé shodnostní transformace

$\xi {\rm =}x{{\rm '}}\cdot {\cos \left(\omega \right)\ }{\rm +}y{{\rm '}}\cdot {\sin \left(\omega \right)\ }{\rm ,\ \ }\left[\xi \right]{\rm =0},$

$\eta =x{{\rm '}}\cdot {\sin \left(\omega \right)\ }{\rm -}y{{\rm '}}\cdot {\cos \left(\omega \right)\ }{\rm ,\ \ }\left[\eta \right]{\rm =0}.$

Vytvoříme součty čtverců souřadnic nové soustavy

$\left[\xi \xi \right]{\rm =}\left[x{{\rm '}}x{{\rm '}}\right]\cdot {{\cos }^2 \left(\omega \right)\ }{\rm +}\left[x{{\rm '}}y{{\rm '}}\right]\cdot {\sin \left({\rm 2}\omega \right)\ }+\left[{{\rm y}}{{\rm '}}{{\rm y}}{{\rm '}}\right]\cdot {{\sin }^2 \left(\omega \right)\ },$

$\left[\eta \eta \right]{\rm =}\left[x{{\rm '}}x{{\rm '}}\right]\cdot {{\sin }^2 \left(\omega \right)\ }{\rm -}\left[x{{\rm '}}y{{\rm '}}\right]\cdot {\sin \left({\rm 2}\omega \right)\ }+\left[{{\rm y}}{{\rm '}}{{\rm y}}{{\rm '}}\right]\cdot {{\cos }^2 \left(\omega \right)\ }.$

Úhel $\omega$ najdeme z podmínky, aby součty $[\xi \xi ]$ a $[\eta \eta ]$ měly extrémní hodnotu. Položíme derivaci $[\xi \xi ]'\ =\ 0$ :

${\left.\frac{\partial \left[\xi \xi \right]}{\partial \omega }\right|}_{\omega ={\omega }_0}=-\left[x{{\rm '}}x{{\rm '}}\right]\cdot {\rm sin}\left(2{\omega }_0\right){\rm +2}\left[x{{\rm '}}y{{\rm '}}\right]\cdot {\rm cos}\left({\rm 2}{\omega }_0\right)+\left[{{\rm y}}{{\rm '}}{{\rm y}}{{\rm '}}\right]\cdot {\rm sin}\left({\rm 2}{\omega }_0\right)=0.$

Stejnou rovnici dá derivace $[\eta \eta ]'$ , takže:

${\rm tg}\left({\rm 2}{\omega }_0\right){\rm =}\frac{{\rm 2}\left[x{{\rm '}}y{{\rm '}}\right]}{\left[x{{\rm '}}x{{\rm '}}\right]{\rm -}\left[{{\rm y}}{{\rm '}}{{\rm y}}{{\rm '}}\right]}.$

Úhel $2\cdot {\omega }_0$ může ležet např. v 1. nebo 3. kvadrantu a dá dvě hodnoty: ${\omega }_0$ a ${\omega }_0+90{}^\circ$ , což platí pro obě hlavní osy ( $\xi$ , $\eta$ ) elips chyb. Úhel podle Obr. 2 odměřujeme od osy $x'$ proti směru hodinových ručiček. V případě $[x'y']\ \approx \ 0$ bude i ${\omega }_0\ \approx \ 0$ .

Z redukovaných souřadnic ( $x'$ , $y'$ ) vypočítáme empirické střední souřadnicové chyby s kontrolou:

$m^2_x=\frac{\left[x{{\rm '}}x{{\rm '}}\right]}{n-1} , m^2_y=\frac{\left[y{{\rm '}}y{{\rm '}}\right]}{n-1} ,cov\left(x,y\right)=m_{xy}=\frac{\left[x{{\rm '}}y{{\rm '}}\right]}{n-1} , \frac{2m_{xy}}{m^2_x-m^2_y}={\rm tg}\left({\rm 2}{\omega }_0\right) .$

Ve jmenovateli je $(n-1)$ , protože se jedná o opravy vzhledem k aritmetickým průměrům $[x]:n$ , $[y]:n$ . Střední chyby v extrémních směrech vypočítáme pro kontrolu dvojmo z rovnic:

$m^2_{\xi }=\frac{\left[\xi \xi \right]}{n-1}=m^2_x\cdot {{\cos }^2 \left({\omega }_0\right)\ }+m_{xy}\cdot {\sin \left(2{\omega }_0\right)\ }+m^2_y\cdot {{\sin }^2 \left({\omega }_0\right)\ },$

$m^2_{\eta }=\frac{\left[\eta \eta \right]}{n-1}=m^2_x\cdot {{\sin }^2 \left({\omega }_0\right)\ }-m_{xy}\cdot {\sin \left(2{\omega }_0\right)\ }+m^2_y\cdot {{\cos }^2 \left({\omega }_0\right)\ }.$

Pravděpodobnostní element pro chybu v poloze $\varepsilon =\sqrt{{\eta }^2+{\xi }^2}$ bude

$P_2=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{1}{m_{\xi }{\cdot m}_{\eta }}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{{\eta }^2}{m^2_{\eta }}+\frac{{\xi }^2}{m^2_{\xi }}\right)}d\xi \ d\eta .$

Střední elipsa chyb má poloosy $a\ =\ m_{\xi }$ , $b\ =\ m_{\eta }$ . Elipsa chyb má důležité místo při zjednodušeném posuzování přesnosti určované polohy bodu.

Elipsa chyb v případě vyrovnání zprostředkujících měření

Při vyrovnání zprostředkujících měření se v geodetické praxi často vyskytují případy, že v rovnicích oprav $v_i=\ a_ix+b_iy-l_i$ jsou neznámé $x$ , $y$ souřadnice určovaného bodu.

Nejsou-li souřadnice $x$ , $y$ měřeny přímo, ale pomocí zprostředkujících veličin $l_i$ (úhlů, směrů, délek), budou empirické střední chyby ve směru os

$m^2_x=m^2_0\cdot Q_{11}, m^2_y=m^2_0\cdot Q_{22}.$

Nejen v triangulaci však nastává obecně, že hlavní osy elips chyb $\xi$ , $\eta$ nejsou totožné s osami souřadnicové soustavy $x$ , $y$ . Vzájemný úhel stočení ${\omega }_0$ je možno vyjádřit z rovnice

$\left(m^2_x-m^2_y\right)\cdot {\sin \left(2{\omega }_0\right)\ }-2m_{xy}\cdot {\cos \left(2{\omega }_0\right)\ }=0.$

Po dosazení za $m^{{\rm 2}}_x$ , $m^{{\rm 2}}_y$ a $m_{xy}{\rm =}m^{{\rm 2}}_0\cdot Q_{{\rm 12}}$ dostaneme

${\rm tg}\left(2{\omega }_0\right)=\frac{2Q_{12}}{Q_{11}-Q_{22}}.$

Velikosti hlavních poloos jsou dány vztahy $a\ =\ t·m_{\xi }$ , $b\ =\ t·m_{\eta }$ .

Odvození stočení chybových os a jejich velikosti lze snadno odvodit z kovarianční matice pomocí jejích vlastních čísel. Koncové body úseček $m_x$ , $m_y$ vynesené ve směru původních os $x$ , $y$ neleží na obvodě střední elipsy chyb, ale na tzv. Helmertově křivce.

« 6. Vícerozměrná náhodná veličina
» 8. Zákon rozdělení chyb v prostoru