04_teorie_chyb:0410_zakon_hromadeni_strednich_chyb | IngGeo

« 9. Zákon hromadění skutečných chyb
» 11. Zákon hromadění chyb při působení systematických chyb

10. Zákon hromadění středních chyb

Úvod

Protože skutečné chyby většinou nebudeme znát, je účelné převést vztahy se skutečnými chybami na vztahy, kde by vystupovaly střední chyby. Využijeme platnosti

${\overline{m}}^2_i=E\left({\varepsilon }^2_i\right)$

pro libovolné $i$ .

Stačí tedy představit si celý základní soubor vztahů ${\varepsilon }_f={{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }$ , každý umocnit, vytvořit střední hodnoty, provést úpravy a kde je to možné, provést substituci ${\overline{m}}^2_i=E\left({\varepsilon }^2_i\right)$ .

Schematicky zapíšeme:

${\varepsilon }_f={{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon } ,$

${\varepsilon }^2_f=\left({{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }\right)\cdot {\left({{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }\right)}^T={{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }\cdot {{\mathbf \varepsilon }}^T\cdot {{\mathbf f}}_l ,$

$E\left({\varepsilon }^2_f\right)={{\mathbf f}}^T_l\cdot E\left({\mathbf \varepsilon }\cdot {{\mathbf \varepsilon }}^T\right)\cdot {{\mathbf f}}_l.$

$E\left({\mathbf \varepsilon }\cdot {{\mathbf \varepsilon }}^T\right)=E\left( \begin{array}{cccc} {\varepsilon }^2_1 & {\varepsilon }_1{\varepsilon }_2 & \dots & {\varepsilon }_1{\varepsilon }_n \\ {\varepsilon }_2{\varepsilon }_1 & {\varepsilon }^2_2 & \dots & {\varepsilon }_2{\varepsilon }_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\varepsilon }_n{\varepsilon }_1 & {\varepsilon }_n{\varepsilon }_2 & \dots & {\varepsilon }^2_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cccc} E\left({\varepsilon }^2_1\right) & 0 & \dots & 0 \\ 0 & E\left({\varepsilon }^2_2\right) & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & E\left({\varepsilon }^2_n\right) \end{array} \right),$

$E\left({\mathbf \varepsilon }\cdot {{\mathbf \varepsilon }}^T\right){\rm =}\left( \begin{array}{cccc} {\overline{m}}^{{\rm 2}}_{{\rm 1}} & 0 & {\rm \dots } & 0 \\ 0 & {\overline{m}}^{{\rm 2}}_{{\rm 2}} & {\rm \dots } & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & {\rm \dots } & {\overline{m}}^{{\rm 2}}_n \end{array} \right){\rm =}{{\mathbf M}}^2.$

Vztah byl odvozen při splnění těchto předpokladů:

funkce $f$ , $g$ mají spojité parciální derivace podle jednotlivých proměnných;
skutečné chyby všech proměnných jsou relativně malé;
proměnné ve funkčním vztahu $f$ jsou nezávislé (tedy i skutečné chyby těchto proměnných jsou nezávislé);
skutečné chyby všech proměnných mají sudé rozdělení se střední hodnotou $E\left(\varepsilon \right)=0$ .

Při splnění těchto předpokladů totiž platí:

$E\left({\varepsilon }_i{\varepsilon }_j\right){\rm =}E\left({\varepsilon }_i\right)\cdot E\left({\varepsilon }_i\right){\rm =0.\ }$

Dosadíme-li za střední hodnoty z rovnice ${\overline{m}}^2_i=E\left({\varepsilon }^2_i\right)$ do rovnice $E\left({\varepsilon }^2_f\right)={{\mathbf f}}^T_l\cdot E\left({\mathbf \varepsilon }\cdot {{\mathbf \varepsilon }}^T\right)\cdot {{\mathbf f}}_l$ , dostaneme tzv. „zákon hromadění středních chyb“ ve tvaru:

${\overline{m}}^2_f={{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf M}}^2\cdot {{\mathbf f}}_l.$

Pro obecnější tvar funkce platí obdobně vztah

${\overline{m}}^2_f=\frac{1}{g^2_f}\cdot {{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf M}}^2\cdot {{\mathbf f}}_l,$

který v rozepsaném klasickém zápisu má tvar

${\overline{m}}^2_f=\frac{1}{g^2_f}\cdot \left(f^2_1\cdot {\overline{m}}^2_1+\ f^2_2\cdot {\overline{m}}^2_2+\dots +f^2_n\cdot {\overline{m}}^2_n\right) .$

Matici ${{\mathbf M}}^2$ budeme též označovat jako ${{\mathbf \Sigma }}_l$ (viz později). Tato matice obecně nemusí být diagonální, ale plná, což prakticky znamená, že veličiny vystupující ve funkčních vztazích jsou vzájemně závislé. Potom pro použití tohoto obecného vzorce ve tvaru:

${\overline{m}}^2_f={{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf \Sigma }}_l\ \cdot {{\mathbf f}}_l,$

není potřeba předpoklad nezávislosti veličin ve funkci $f$ .

Neznáme-li hodnoty základních středních chyb $\overline{m}$ , použijeme výběrové hodnoty $m$ , (samozřejmě s rizikem otázky důvěryhodnosti těchto výběrových středních chyb $m$ ) a matici ${{\mathbf M}}^2$ označíme ${{\mathbf S}}_l$ .

Důležitá je okolnost, že se ve vzorci jednotlivé členy sčítají kvadraticky, tj. střední chyba funkce narůstá podle Pythagorovy věty. Na rozdíl od zákona hromadění skutečných chyb nesmíme střední chyby sčítat lineárně.

« 9. Zákon hromadění skutečných chyb
» 11. Zákon hromadění chyb při působení systematických chyb