Rozbory přesnosti

« 4. Postup určení celkové přesnosti měřené veličiny
» 6. Vytyčení úsečky polární metodou

5. Vytyčení polohy bodu polární metodou

Úvod

Vytyčení polohy bodu je základní a zásadně převažující metoda vytyčování v geodetické praxi. Rozbory přesnosti vycházejí z požadavků na přesnost umístění bodu v rovině, obvykle zadaných ve formě směrodatné odchylky souřadnicové nebo polohové. Směrodatná odchylka souřadnicová ${\sigma }_{xy}$ a směrodatná odchylka polohová ${\sigma }_p\ $ jsou dány vztahy:

$${\sigma }_{xy}=\sqrt{\frac{{\sigma }^2_x+{\sigma }^2_y}{2}}; $$

$${\sigma }_p=\sqrt{{\sigma }^2_x+{\sigma }^2_y} .    $$

Rovnice pro výpočet souřadnic polární metodou vycházejí z Obr. 1 (vytyčovaný bod je označen jako číslo 1):

$$ x=x_S+d\cdot {\cos  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right), $$

$$ y=y_S+d\cdot {\sin  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right), $$

kde $x$, $y$ jsou souřadnice vytyčovaného bodu, $x_S$ a $y_S$ jsou souřadnice stanoviska $S$, $d$ je určená vodorovná délka, $\omega $ je vodorovný úhel vypočtený z měření ${\psi }_1$ a ${\psi }_O$, ${\sigma }_{SO}$ je směrník ze stanoviska $S$ na orientaci $O$, který se určí:

$${\sigma }_{SO}={\arctan  \left(\frac{y_O-y_S}{x_O-x_S}\right)\ }+o_K ,      $$

kde $x_O$ a $y_O$ jsou souřadnice orientace $O$, $o_K$ je oprava ze zařazení do správného kvadrantu.

Schema vytyčení polohy bodu

Obr. 1 Schema vytyčení polohy bodu

Obecný chybový model souřadnic bodu určeného polárního metodou lze zapsat:

$${{\mathbf M}}_{x,y}=\left( \begin{array}{cc}
{\sigma }^2_x & Cov_{x,y} \\ 
Cov_{x,y} & {\sigma }^2_y \end{array}
\right)={{\mathbf M}}_m+{{\mathbf M}}_{CR}+{{\mathbf M}}_{SO} ,   $$

kde ${{\mathbf M}}_m$ je kovarianční matice popisující vliv měření, ${{\mathbf M}}_{SO}$ je kovarianční matice popisující vliv přenosti souřadnic stanoviska $S$ a orientace $O$ (vliv podkladu) a ${{\mathbf M}}_{CR}$ je kovarianční matice popisující vliv centrace přístroje a cíle a vliv realizace. Jednotlivé vlivy jsou vzájemně nezávislé, každý z nich působí mírně odlišným způsobem. Vliv podkladu nelze opakovaným měřením nikterak zmenšit, vliv centrace přístroje a cíle lze zmenšit opakovaným (nezávislým) měřením s novou centrací, vliv měření lze zmenšit opakovaným měřením. Postupně bude určení kovariančních matic vlivu měření a podkladu popsáno.

Ilustrativně lze výslednou kovarianční matici pro opakování jednotlivých měření (počet opakování $n_m$) a opakování celého měření/vytyčení (počet opakování $n_c$) popsat takto:

$${{\mathbf M}}_{x,y}=\frac{1}{n_c}\cdot \left(\frac{1}{n_m}\cdot {{\mathbf M}}_m+{{\mathbf M}}_{CR}\right)\ +{{\mathbf M}}_{SO} .    $$

Obecný chybový model souřadnic bodu určeného polárního metodou lze zapsat:

$${{\mathbf M}}_{x,y}=\left( \begin{array}{cc}
{\sigma }^2_x & Cov_{x,y} \\ 
Cov_{x,y} & {\sigma }^2_y \end{array}
\right)={{\mathbf M}}_m+{{\mathbf M}}_{CR}+{{\mathbf M}}_{SO} ,   $$

kde ${{\mathbf M}}_m$ je kovarianční matice popisující vliv měření, ${{\mathbf M}}_{SO}$ je kovarianční matice popisující vliv přenosti souřadnic stanoviska $S$ a orientace $O$ (vliv podkladu) a ${{\mathbf M}}_{CR}$ je kovarianční matice popisující vliv centrace přístroje a cíle a vliv realizace. Jednotlivé vlivy jsou vzájemně nezávislé, každý z nich působí mírně odlišným způsobem. Vliv podkladu nelze opakovaným měřením nikterak zmenšit, vliv centrace přístroje a cíle lze zmenšit opakovaným (nezávislým) měřením s novou centrací, vliv měření lze zmenšit opakovaným měřením. Postupně bude určení kovariančních matic vlivu měření a podkladu popsáno.

Ilustrativně lze výslednou kovarianční matici pro opakování jednotlivých měření (počet opakování $n_m$) a opakování celého měření/vytyčení (počet opakování $n_c$) popsat takto:

$${{\mathbf M}}_{x,y}=\frac{1}{n_c}\cdot \left(\frac{1}{n_m}\cdot {{\mathbf M}}_m+{{\mathbf M}}_{CR}\right)\ +{{\mathbf M}}_{SO} .    $$

Vliv měření na přesnost souřadnic

Měřenými veličinami jsou vodorovná délka $d$ a měřený vodorovný úhel $\omega $. Matice parciálních derivací ${{\mathbf A}}_m$ a kovarianční matice měření ${{\mathbf M}}_{d,\omega }$ pro aplikaci zákona hromadění směrodatných odchylek:

$${{\mathbf A}}_m=\left( \begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial d} & \frac{\partial x}{\partial\omega } \\ 
\frac{\partial y}{\partial d} & \frac{\partial y}{\partial\omega } \end{array}
\right)=\left( \begin{array}{cc}
{\cos  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right)\ } & -d\cdot {\sin  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right)\ } \\ 
{\sin  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right)\ } & d\cdot {\cos  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right)\ } \end{array}
\right),  $$

$${{\mathbf M}}_{d,\omega }=\left( \begin{array}{cc}
{\sigma }^2_d & 0 \\ 
0 & \frac{{\sigma }^2_{\omega }}{{\rho }^2} \end{array}
\right) ,       $$

kde $\omega ={\psi }_1-{\psi }_O$ a tedy ${\sigma }^2_{\omega }={\sigma }^2_{{\psi }_1}+{\sigma }^2_{{\psi }_O}$. Kovarianční matice popisující vliv měřených veličin se určí:

$${{\mathbf M}}_m={{\mathbf A}}_m\cdot {{\mathbf M}}_{d,\omega }\cdot {{\mathbf A}}^T_m ,     $$

platí:

$${{\mathbf M}}_m=\left( \begin{array}{cc}
{\sigma }^2_{xm} & Cov_{xym} \\ 
Cov_{yxm} & {\sigma }^2_{ym} \end{array}
\right) ,    $$

kde

$${\sigma }^2_{xm}={\sigma }^2_d\cdot {{\cos }^2 \left({\sigma }_{S1}\right)\ }+d^2\cdot {{\sin }^{{\rm 2}} \left({\sigma }_{S1}\right)\ }\cdot {\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2 ,   $$

$${\sigma }^2_{ym}={\sigma }^2_d\cdot {{\sin }^2 \left({\sigma }_{S1}\right)\ }+d^2\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} \left({\sigma }_{S1}\right)\ }\cdot {\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2 ,   $$

$$Cov_{xym}=Cov_{yxm}={\sin  \left({\sigma }_{S1}\right)\cdot {\cos  \left({\sigma }_{S1}\right)\ }\ }\cdot \left({\sigma }^2_d-{\left(d\cdot \frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2\right)\ . $$

Takto lze zhodnotit vliv přesnosti měření na přesnost určení souřadnic bodu polární metodou. Kovariance je nutnou součástí výsledku výpočtu v případě další práce s přesností souřadnic, neboť pouze při měření ve směru jedné souřadnicové osy je rovna nule. Lze to dokázat na základě odvození výpočtu velikosti a stočení poloos elipsy chyb.

Po dosazení předchozích rovnic do rovnice pro výpočet úhlu stočení lze po roznásobení, elementárních úpravách a použití vzorců pro dvojnásobný argument ${\sin  \left(2\cdot \alpha \right)\ }=2\cdot {\sin  \left(\alpha \right)\ }\cdot {\cos  \left(\alpha \right)\ }$ a ${\cos  \left(2\cdot \alpha \right)\ }={{\cos }^2 \left(\alpha \right)\ }-{{\sin }^2 \left(\alpha \right)\ }$ získat rovnost úhlu stočení elipsy chyb a směrníku měření. Po dosazení předchozích rovnic do rovnice pro výpočet hlavní a vedlejší poloosy elipsy chyb platí:

$${\sigma }^2_a={\sigma }^2_d ,       $$

$${\sigma }^2_b=d^2\cdot {\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2 .      $$

Vliv měření na polohovou a souřadnicovou směrodatnou odchylku

V některých případech není třeba uvažovat chyby podkladu, neboť například vytyčovací síť je natolik přesná, že se její přesnost v přesnosti výsledku neprojeví. Pak lze odvozovat vliv přesnosti měření přímo pro souřadnicovou či polohovou odchylku. Chybu v centraci přístroje a cíle lze do výpočtu zavést tak, že se započítá do přesnosti měření. Je důležité, že prostým opakováním měření délky a směru se tento vliv nezmenšuje. Vliv realizace se obvykle do výpočtu zavádí samostatně přímo v rozboru přesnosti.

Skutečné chyby souřadnic v závislosti (pouze) na chybách měření):

$$\  \begin{array}{c}
{\varepsilon }_x={\varepsilon }_d\cdot {\cos  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right)-d\cdot {\sin  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right)\cdot \frac{{\varepsilon }_{\omega }}{\rho }\ }\ } \\ 
{\varepsilon }_y={\varepsilon }_d\cdot {\sin  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right)+d\cdot {\cos  \left({\sigma }_{SO}+\omega \right)\ }\ }\cdot \frac{{\varepsilon }_{\omega }}{\rho } \end{array}. $$

Dále bude značeno ${\sigma }_{SO}+\omega =\sigma $. Skutečná polohová odchylka:

$${\varepsilon }^2_P={\varepsilon }^2_x+{\varepsilon }^2_y ,        $$

kde

$$ \begin{array}{c}
{\varepsilon }^2_x={\varepsilon }^2_d\cdot {{\cos }^2 \left(\sigma \right)\ }+d^2\cdot {{\sin }^{{\rm 2}} \left(\sigma \right)\ }\cdot {\left(\frac{{\varepsilon }_{\omega }}{\rho }\right)}^2-2\cdot d\cdot {\cos  \left(\sigma \right)\ }\cdot {\sin  \left(\sigma \right)\cdot {\varepsilon }_d\cdot \frac{{\varepsilon }_{\omega }}{\rho }\ } \\ 
{\varepsilon }^2_y={\varepsilon }^2_d\cdot {{\sin }^2 \left(\sigma \right)\ }+d^2\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} \left(\sigma \right)\ }\cdot {\left(\frac{{\varepsilon }_{\omega }}{\rho }\right)}^2+2\cdot d\cdot {\cos  \left(\sigma \right)\ }\cdot {\sin  \left(\sigma \right)\cdot {\varepsilon }_d\cdot \frac{{\varepsilon }_{\omega }}{\rho }\ } \end{array}.$$

Po sečtení se odečtou smíšené členy, po vytknutí se získá tvar:

$${\varepsilon }^2_P={\varepsilon }^2_d\cdot \left({{\cos }^2 \left(\sigma \right)\ }+{{\sin }^2 \left(\sigma \right)\ }\right)+{\left(\frac{{\varepsilon }_{\omega }}{\rho }\right)}^2\cdot d^2\cdot \left({{\cos }^2 \left(\sigma \right)\ }+{{\sin }^2 \left(\sigma \right)\ }\right). $$

Z toho po jednoduché úpravě:

$${\varepsilon }^2_P={\varepsilon }^2_d+{\left(\frac{{\varepsilon }_{\omega }}{\rho }\right)}^2\cdot d^2 .       $$

Směrodatná odchylka polohová:

$${\sigma }_P=\sqrt{{\sigma }^2_d+{\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2\cdot d^2} .       $$

Směrodatná odchylka souřadnicová:

$${\sigma }_{xy}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \left({\sigma }^2_d+{\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2\cdot d^2\right)} .      $$

Z předchozích vzorců vyplývá, že při uvážení pouze vlivu měření polohová ani souřadnicová odchylka nejsou závislé na směru měření a závisí pouze na velikosti směrodatných odchylek měření úhlu a délky a na vzdálenosti, na kterou se měří.

Vliv podkladu na přesnost souřadnic

Přesnost souřadnic vytyčovací sítě spoluurčuje přesnost umístění a natočení výsledných vytyčovaných prvků. Po zaměření a vyrovnání vytyčovací sítě jsou známy směrodatné odchylky určených souřadnic, resp. kovarianční matice popisující přesnost výsledku. V některých případech je známa určitá aproximace tohoto vyjádření, průměrná souřadnicová odchylka či průměrná polohová odchylka, pak je nutné využít zjednodušení popisu přesnosti pomocí kružnice chyb bez kovariancí. Výpočet kovarianční matice vlivu podkladu ${{\mathbf M}}_{SO}$:

$${{\mathbf M}}_{SO}={{\mathbf A}}_{SO}\cdot {{\mathbf M}}_{XY}\cdot {{\mathbf A}}^T_{SO} ,     $$

kde ${{\mathbf M}}_{XY}$ je kovarianční matice popisující přesnost podkladu a ${{\mathbf A}}_{SO}$ je matice derivací:

$${{\mathbf M}}_{XY}=\left( \begin{array}{cccc}
{\sigma }^2_{x_S} & Cov_{xy_S} & Cov_{x_S x_O} & Cov_{x_S y_O} \\ 
Cov_{xy_S} & {\sigma }^2_{y_S} & Cov_{y_S x_O} & Cov_{y_S y_O} \\ 
Cov_{x_S x_O} & Cov_{y_S x_O} & {\sigma }^2_{x_O} & Cov_{xy_O} \\ 
Cov_{x_S y_O} & Cov_{y_S y_O} & Cov_{xy_O} & {\sigma }^2_{y_O} \end{array}
\right) ,  $$

$${{\mathbf A}}_{SO}=\left( \begin{array}{cccc}
\frac{\partial x}{\partial x_S} & \frac{\partial x}{\partial y_S} & \frac{\partial x}{\partial x_O} & \frac{\partial x}{\partial y_O} \\ 
\frac{\partial y}{\partial x_S} & \frac{\partial y}{\partial y_S} & \frac{\partial y}{\partial x_O} & \frac{\partial y}{\partial y_O} \end{array}
\right) .     $$

Jednotlivé derivace mají tvar:

$$\frac{\partial x}{\partial x_S}=1-\triangle y_{SP}\cdot \frac{\triangle y_{SO}}{d^2_{SO}},$$

$$\frac{\partial x}{\partial y_S}=\triangle y_{SP}\cdot \frac{\triangle x_{SO}}{d^2_{SO}},$$

$$\frac{\partial x}{\partial x_O}=\triangle y_{SP}\cdot \frac{\triangle y_{SO}}{d^2_{SO}},$$

$$\frac{\partial x}{\partial y_O}=-\triangle y_{SP}\cdot \frac{\triangle x_{SO}}{d^2_{SO}},$$

$$\frac{\partial y}{\partial x_S}=\triangle x_{SP}\cdot \frac{\triangle y_{SO}}{d^2_{SO}},$$

$$\frac{\partial y}{\partial y_S}=1-\triangle x_{SP}\cdot \frac{\triangle x_{SO}}{d^2_{SO}},$$

$$\frac{\partial y}{\partial x_O}=-\triangle x_{SP}\cdot \frac{\triangle y_{SO}}{d^2_{SO}},$$

$$\frac{\partial y}{\partial y_O}=\triangle x_{SP}\cdot \frac{\triangle x_{SO}}{d^2_{SO}}.$$

Vliv centrace přístroje a cíle a realizace na přesnost souřadnic

Tento vliv je z matematického hlediska obdobný jako nepřesnost samotných souřadnic podkladu s tím, že je nutné započítat ještě vliv realizace ve tvaru kovarianční matice ${{\mathbf M}}_R$:

$${{\mathbf M}}_{CR}={{\mathbf A}}_C\cdot {{\mathbf M}}_C\cdot {{\mathbf A}}_C+{{\mathbf M}}_R ,      $$

kde

$${{\mathbf M}}_R=\left( \begin{array}{cc}
{\sigma }^2_{x_R} & Cov_{xy_R} \\ 
Cov_{yx_R} & {\sigma }^2_{y_R} \end{array}
\right).$$

Kovarianční matice popisující přesnost centrace přístroje na stanovisku a cíle na orientačním bodě (nulové prvky matice vyjadřují vzájemnou nezávislost centrace přístroje a cíle):

$${{\mathbf M}}_C=\left( \begin{array}{cccc}
{\sigma }^2_{x_SC} & Cov_{xy_S} & 0 & 0 \\ 
Cov_{xy_S} & {\sigma }^2_{y_SC} & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & {\sigma }^2_{x_OC} & Cov_{xy_O} \\ 
0 & 0 & Cov_{xy_O} & {\sigma }^2_{y_OC} \end{array}
\right) ,   $$

Matice derivací:

$${{\mathbf A}}_C=\left( \begin{array}{cccc}
\frac{\partial x}{\partial x_S} & \frac{\partial x}{\partial y_S} & \frac{\partial x}{\partial x_O} & \frac{\partial x}{\partial y_O} \\ 
\frac{\partial y}{\partial x_S} & \frac{\partial y}{\partial y_S} & \frac{\partial y}{\partial x_O} & \frac{\partial y}{\partial y_O} \end{array}
\right) .     $$

Vliv realizace se obvykle popisuje kružnicí chyb, např. o poloměru ${\sigma }_r=1\ mm$.


« 4. Postup určení celkové přesnosti měřené veličiny
» 6. Vytyčení úsečky polární metodou

Slovník

 
05_rozbory_presnosti/0505_vytyceni_polohy_bodu.txt · Poslední úprava: 2016/06/01 07:48 (upraveno mimo DokuWiki)
Recent changes RSS feed Creative Commons License Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki
Drupal Garland Theme for Dokuwiki