11. Zákon hromadění chyb při působení systematických chyb

Obecný zákon hromadění chyb platí i pro závislé veličiny, jejichž závislost je způsobena vlivem systematických chyb. V četných případech praxe jej můžeme zjednodušit. V maticovém zápise není také vidět působení vlivů jednotlivých druhů chyb. Proto ukážeme napřed na jednoduchých případech zjednodušené vzorce a to v klasickém zápise. Výchozí vztah pro úpravu bude vzorec:

$${\overline{m}}^2_F=\left[f^2\cdot {\overline{m}}^2\right]+2\cdot \sum{\sum{f_i\cdot f_k\cdot {\overline{m}}_{ik}}},$$

kde kromě známých symbolů vyjadřuje ${\overline{m}}_{ik}$ kovarianci (závislost) veličin $i$ a $k$.

Korelaci ve skupině měření, kde $m=konst.$, působí pouze neznámá konstantní chyba $c$, takže platí: ${\overline{m}}^2={\sigma }^2+{\overline{m}}^2_c$, $E\left({\varepsilon }_i{\varepsilon }_k\right)={\overline{m}}_{ik}={\overline{m}}^2_c$ a výsledný vztah pak

$${\overline{m}}^2_F=\left[f^2\cdot {\sigma }^2\right]+\left[f^2\cdot {\overline{m}}^2_c\right]+2\cdot \sum{\sum{f_i\cdot f_k\cdot }}{\overline{m}}^2_c=\left[f^2\cdot {\sigma }^2\right]+{\left[f\right]}^2\cdot {\overline{m}}^2_c.$$

Střední chyba ${\overline{m}}_c=\sqrt{E(c^2)}$ reprezentuje základní soubor všech možných hodnot systematické chyby v různých skupinách (konstantní hodnotu má jen v dané skupině).

Při současném působení náhodných chyb i systematické chyby je třeba odděleně vypočítat úhrnný vliv každé složky na funkci měřených veličin a pak teprve je kvadraticky sečíst, abychom dostali úplnou střední chybu funkce.

• a) Součet

$$S{\rm =}l_{{\rm 1}}{\rm +}l_{{\rm 2}}{\rm +\dots +}l_n ,$$ $${\varepsilon }_S{\rm =}\left[\varepsilon \right]{\rm =}\left[\triangle \right]{\rm +}n\cdot c ,$$ $${\overline{m}}^{{\rm 2}}_S{\rm =}n\cdot {\sigma }^{{\rm 2}}{\rm +}n^{{\rm 2}}\cdot {\overline{m}}^{{\rm 2}}_c .$$

Při působení systematické chyby roste u součtu měřených veličin střední chyba rychleji než s odmocninou z počtu veličin. U mnoha veličin může účinek malé systematické chyby převýšit vliv i větší náhodné střední chyby.

• b) Aritmetický průměr

$$x=\frac{S}{n} ,$$ $${\overline{m}}_x=\frac{{\overline{m}}_S}{n} ,$$ $${\varepsilon }_x{\rm =}\frac{\left[\varepsilon \right]}{n}{\rm =}\frac{\left[\triangle \right]}{n}{\rm +}c ,$$ $${\overline{m}}^{{\rm 2}}_x{\rm =}\frac{{\sigma }^2}{n}+{\overline{m}}^{{\rm 2}}_c.$$

Přitom střední chyba jednoho měření ${\overline{m}}^2={\sigma }^2+{\overline{m}}^{{\rm 2}}_c$ , takže ${\overline{m}}_x>\frac{\overline{m}}{\sqrt{n}}$.

Při působení systematické chyby neklesá střední chyba průměru s odmocninou počtu opakovaných měření (takto klesne jen vliv náhodné složky).

Mějme velký soubor $N$ opakovaných měření nebo chyb, který rozdělíme na$k$skupin uspořádaných podle stejných podmínek měření, které jsou pramenem systematické chyby skupinové, nekorelované mezi skupinami. Označme

$N$ počet všech měření nebo chyb,

$n_1$, $n_2$, …, $n_k$ počty v jednotlivých skupinách, $[n]=N$,

$p_i=\ n_i/N$, $[p]=1$ relativní četnost v $i$-té skupině,

${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$,…, ${\Delta }_N$ náhodné chyby, proměnlivé od měření k měření, vzájemně $E\left(\Delta \right)=0$, $E({\Delta }^2) = {\sigma }^2$ nezávislé a působící rozptyl jednotlivých měření,

$c_1$, $c_2$, …, $c_k$ skupinové systematické chyby (nebo jejich průměrné hodnoty), zatěžující stejnou hodnotou všechna měření uvnitř skupiny, ale proměnlivé od skupiny ke skupině ($E\left(c^2\right)={\overline{m}}^{{\rm 2}}_c$), $\overline{c}=\left[p_i\cdot c_i\right]$ jejich průměrná hodnota jakoby utajená konstantní chyba pro všechny skupiny (pro všechna možná měření),

${\gamma }_i=c_i-\overline{c},\ \left[p\gamma \right]=0$ redukované skupinové chyby, stálé a utajené uvnitř skupiny, ale proměnlivé od skupiny ke skupině a ovlivňující rozdíly mezi skupinovými průměry. Mají charakter opravy průměru ($E\left({\gamma }^2\right)={\sigma }^2_{\gamma },\ E\left(\gamma \right)=0$).

V základním smíšeném souboru všech hodnot $\Delta$, $c$ platí:

$$E\left(\varepsilon \right)=E\left(c\right)=E\left(\overline{c}\right)=C .$$

Úplná chyba a úplná variance (čtverec úplné střední chyby):

$${\varepsilon }_{ij}={\triangle }_{ij}+c_i={\triangle }_{ij}+{\gamma }_i+\overline{c},$$

$$m^2={\sigma }^2+{\overline{m}}^{{\rm 2}}_c={\sigma }^2+{\sigma }^2_{\gamma }+{\overline{m}}^{{\rm 2}}_c.$$

• a) V součtu všech měření $S=[l]$ bude skutečná a střední chyba

$${\varepsilon }_S=\sum^N_{j=1}{{\triangle }_j}+\sum^k_{i=1}{{\left(n\cdot \gamma \right)}_i}+N\cdot \overline{c},$$

$${\overline{m}}^2_S=N\cdot {\sigma }^2+\sum^k_{i=1}{n^2_i\cdot {\sigma }^2_{\gamma }}+N^2\cdot {\overline{m}}^{{\rm 2}}_c .$$

V případě stejně velikých skupin $n=N/k$, $[n^2]=N^2/k$ :

$${\varepsilon }_S=\sum^N_1{\triangle }+n\cdot \sum^k_1{\gamma }+N\cdot \overline{c},$$

$${\overline{m}}^2_S=N^2\cdot \left(\frac{{\sigma }^2}{N}+\frac{{\sigma }^2_{\gamma }}{k}+{\overline{m}}^{{\rm 2}}_c\right).$$

Zejména nyní je zřejmé, jak se každý druh chyb hromadí podle jiného zákona. Klasický zákon přenášení středních chyb platí jen pro náhodnou složku (${\sigma }_S=\sigma \cdot \sqrt{N}$).

• b) Pro aritmetický průměr ze všech měření

$$\overline{x}=\frac{\left[l\right]}{N} , {\varepsilon }_{\overline{x}}=\frac{{\varepsilon }_S}{N} , {\overline{m}}^2_{\overline{x}}=\frac{{\overline{m}}^2_S}{N^2} .$$

$${\varepsilon }_{\overline{x}}=\frac{\left[\triangle \right]}{N}+\frac{\left[n\cdot \gamma \right]}{N}+\overline{c},{\overline{m}}^2_x=\frac{{\sigma }^2}{N}+\frac{\left[n^2\right]}{N^2}\cdot {\sigma }^2_{\gamma }+{\overline{m}}^{{\rm 2}}_c .$$

a v případě stejně velikých skupin $n=N/k$

$${\varepsilon }_{\overline{x}}=\frac{\left[\triangle \right]}{N}+\frac{\left[\gamma \right]}{k}+\overline{c} , {\overline{m}}^2_x=\frac{{\sigma }^2}{N}+\frac{{\sigma }^2_{\gamma }}{k}+\overline{c}, {\overline{m}}^2_x=\frac{{\sigma }^2}{N}+\frac{{\sigma }^2_{\gamma }}{k}+{\overline{m}}^{{\rm 2}}_c .$$

V aritmetickém průměru klesá vliv střední kvadratické chyby náhodné s odmocninou počtu všech měření (${\sigma }_x=\sigma /\sqrt{N}$), vliv střední proměnlivé systematické chyby skupinové s odmocninou počtu skupin se změněnými podmínkami, vliv konstantní chyby se nezmenší vůbec. Je třeba vypočítat napřed odděleně úhrnný vliv každého druhu chyb a pak je teprve kvadraticky sečíst. Je žádoucí vystřídat co nejvíce podmínky měření, aby konstantní složka chyb $c$ byla co nejblíže nule.

• c) Pro skupinový průměr $x_i={\left[l\right]}_i/n_i$ při $n_i=n=N/k$

$${\overline{m}}^2_x=\frac{{\sigma }^2}{n}+{\sigma }^2_{\gamma }+{\overline{m}}^2_{\overline{c}}=\left(\frac{{\sigma }^2}{n}+{\overline{m}}^2_{\overline{c}}\right)<k\cdot {\overline{m}}^2_{\overline{x}} , {\overline{m}}^2_{\overline{x}}>\frac{{\overline{m}}^2_x}{k} .$$

V případě nestejných vah $p_i$ měření $l_i$ bude skupinový a celkový průměr

$$x_i=\frac{{\left[pl\right]}_i}{{\left[p\right]}_i} , \overline{x}=\frac{\left[pl\right]}{\left[p\right]}=\frac{\left[Px\right]}{\left[P\right]} , P_i={\left[p\right]}_i$$

a v rovnicích je třeba nahradit $N=[P]$, $n_i=P_i={\left[p\right]}_i$.

Při působení systematické chyby, stálé ve všech skupinách, neklesne střední kvadratická chyba celkového průměru s odmocninou počtu skupin a nelze pro určení střední chyby součtu kvadraticky sčítat střední chyby jednotlivých skupinových výsledků.

V případě současného působení vzájemně nezávislých systematických chyb různého druhu $c'$, $c''$, $c'''$, …, ${\gamma '}_i=c'_i-\overline{c'}$ platí

$${\overline{m}}^{{\rm 2}}{\rm =}{\sigma }^{{\rm 2}}{\rm +}{\sigma }^{{\rm 2}}_{{\gamma }^{{\rm '}}}{\rm +}{\sigma }^{{\rm 2}}_{{\gamma }^{{\rm ''}}}{\rm +}{\overline{m}}^{{\rm 2}}_{c^{{\rm '}}}{\rm +}m^{{\rm 2}}_{c^{{\rm ''}}}{\rm +\dots \ },$$

$${\varepsilon }_S=\sum^N_1{{\triangle }_{ij}}+\sum^{k'}_1{{\left(n'\cdot {\gamma }'\right)}_i}+\sum^{k''}_1{{\left(n^{''}\cdot \gamma ''\right)}_i}+\dots +N\cdot \left({\overline{c}}'+{\overline{c}}^{''}+\dots \right),$$

$${\overline{m}}^2_S=N\cdot {\sigma }^2+\left[n^{'2}\right]\cdot {\sigma }^2_{{\gamma }'}+\left[n^{''2}\right]\cdot {\sigma }^2_{{\gamma }^{''}}+\dots +N^2\cdot \left({\overline{m}}^2_{c'}+{\overline{m}}^2_{c^{''}}+\dots \right),$$

a střední chyba průměru při stejně velkých skupinách u každého druhu skupinové chyby:

$${\overline{m}}^{{\rm 2}}_{\overline{x}}{\rm =}\frac{{\sigma }^{{\rm 2}}}{N}{\rm +}\frac{{\sigma }^2_{{\gamma }'}}{k^{{\rm '}}}{\rm +}\frac{{\sigma }^2_{{\gamma }^{''}}}{k^{{\rm ''}}}{\rm +\dots +}{\overline{m}}^{{\rm 2}}_{c^{{\rm '}}}{\rm +}{\overline{m}}^{{\rm 2}}_{c^{{\rm ''}}}{\rm +\dots \ }.$$

Na závěr ukážeme vztah pro obecný funkční vztah $y=f(x_1,x_2,...,\ x_n)$, kde jsou proměnné závislé. Závislost musí být dána buď kovarianční, nebo korelační maticí. K jejímu určení, či k výpočtu prvku, není obvykle dosti potřebných měření. Je-li závislost způsobena přítomností systematických chyb, musíme znát charakter jejich působení a odhad složek jednotlivých středních chyb. Obecný vztah pak lze upravit a schematicky zapsat:

$$m^2_y=\left[{\left(f\cdot m_{\triangle }\right)}^2\right]+\sum{A^2_i\cdot m^2_{\gamma }}+\sum{B^2_i\cdot m^2_{{\gamma }'}}+\dots +{\left[f\cdot m_c\right]}^2,$$

kde $m_{\Delta i}$ je střední chyba náhodná, příslušející k proměnné $x_i$; bude-li pro několik proměnných stejná, upraví se prvý člen na řadu

$${\left[f^2\right]}_1\cdot m^2_{\triangle 1}+{\left[f^2\right]}_2\cdot m^2_{\triangle 2}+\dots$$

podle počtu různých $m_{\Delta }$; $A_i$ je součet parciálních derivací podle všech proměnných, ve kterých se uplatní stejný druh i velikost proměnlivé systematické chyby ${\gamma }_i$. Indexem $i$ se zde rozlišují skupiny proměnných o různé velikosti systematické chyby $\gamma$; $B_i$ totéž pro jiný druh proměnlivé systematické chyby. Stejný druh systematické chyby se rozliší čárkami:

${\overline{m}}^2_{\gamma }=E\left({\gamma }^2\right)$ je střední proměnlivá systematická chyba;

${\overline{m}}^2_{{\gamma }'}=E\left({{\gamma }'}^2\right)$ je střední proměnlivá systematická chyba jiného druhu.

Platí: $E\left(\gamma \right){\rm =}E\left({\gamma }^{{\rm '}}\right){\rm =}E\left({\gamma }^{{\rm ''}}\right){\rm =\dots =0}$.

$m_{ci}$ jsou různé druhy střední stálé systematické chyby. V případě její konstantní hodnoty pro všechny proměnné se poslední člen upraví na ${\left[f\right]}^2\cdot m^2_{c_0}$, kde ${\overline{m}}^2_{c_0}=E\left(c^2\right)$, když písmenem $c_i$ označíme náhodnou velikost stálé systematické chyby.

Jak je vidět, zapsání univerzálně platného vzorce je pracné a nepřehledné. Proto je vhodnější používat zjednodušeného zákona hromadění úplných chyb napsaného pro každou konkrétní situaci, jak bylo ukázáno výše.

---

« 10. Zákon hromadění středních chyb
» 12. Vyrovnání měření obecně