12. Vyrovnání měření obecně

K vyloučení hrubých chyb a ke zvýšení přesnosti konečného výsledku měření opakujeme měření neznámé veličiny nebo měříme další veličiny, které jsou s neznámými veličinami ve známém vzájemném vztahu. Vlivem měřických chyb dostáváme řadu měření s různými číselnými hodnotami pro tutéž veličinu, nebo nesouhlasy v uvedených vztazích. Máme-li tedy pro výpočet některých veličin zaměřeno více hodnot než je třeba, tj. máme-li k dispozici tzv. nadbytečná měření, není řešení úlohy jednoznačné a musíme provést vyrovnání, které nám nejen zprostředkuje jednoznačný výpočet hledaných hodnot, odhadne přesnost jejich určení, ale podle našeho subjektivního mínění umožní získání „lepších“ (spolehlivějších či přesnějších, pravděpodobnějších) hodnot, než při výpočtu jen z nutných měření. Shrnuto tedy úkolem vyrovnání je:

1. vypočítat nejspolehlivější odhad neznámých hodnot měřených veličin a odstranit všechny nesrovnalosti ve vztazích neboli provést vyrovnání výsledků měření;
2. z rozporů mezi jednotlivými výsledky odhadnout přesnost metod měření a přesnost výsledků vyrovnání;
3. připravit takové uspořádání výpočtů, aby byl umožněn mechanický výpočet a zajistit vhodné počtářské kontroly.

Způsoby vyrovnání můžeme zhruba rozdělit do čtyř skupin:

1. vyrovnání měření přímých, kde jediná neznámá veličina byla nezávisle měřena vícekrát za sebou (příklad: opakovaná měření úhlu, délky, převýšení);
2. vyrovnání měření zprostředkujících, kde se více neznámých veličin nepřímo určují prostřednictvím přímého měření jiných veličin, které jsou s neznámými ve známém funkčním vztahu (např. koeficienty roztažnosti kovové tyče určujeme měřením její délky za různých teplot, počítané souřadnice a měřené úhly, délky);
3. vyrovnání měření podmínkových, kde se jednotlivé veličiny měří přímo, avšak současně mají splnit předem danou matematickou nebo geometrickou podmínku (např. součet úhlů v rovinném trojúhelníku musí splnit rovnici $\alpha +\beta +\gamma -180{}^\circ =0$;
4. složitější, kombinované způsoby.

Pro výpočet s nadbytečnými měřeními je vždy nutné řešení provádět za zvolené dodatečné podmínky. Metod vyrovnání je velké množství, obvykle vychází z podmínky minima některé normy vektoru oprav měření. Norma je číslo přiřazené ke každému $n$ - rozměrnému vektoru ${\mathbf v}={\left(v_1,v_2,...,v_n\right)}^T$, které v nějakém smyslu charakterizuje jeho velikost. Z hlediska využití lze metody vyrovnání rozdělit takto:

• a) Metoda nejmenších čtverců (MNČ). Jedná se v geodézii o nejvyužívanější metodu, publikovanou poprvé v roce 1806, která při splnění určitých předpokladů dává nejmenší střední chybu odhadu neznámých veličin. Minimalizovaná norma vektoru oprav:

$$\left\|{\mathbf v}\right\|=\left[v^2\right]=\sum^n_{i=1}{v^2_i}.$$

• b) Další, z hlediska využití v geodézii doplňující metody, využívané v menší míře ve speciálních případech nebo pro detekci hrubých chyb. Do této skupiny lze zařadit:

1. Metoda Minimax, která se používá, když měření máme zadána tolerančními intervaly. Při splnění dalších vztahů hledáme takové řešení, jehož maximální možná chyba je ze všech maximálních chyb dalších možných řešení nejmenší. Řešení této metody je problém lineárního programování a zpravidla se provádí simplexovou metodou. Jiným vyjádřením může být minimalizace možných ztrát a maximalizace možného zisku, případně také maximalizace minimálního zisku. Norma vektoru oprav: $\left\|{\mathbf v}\right\|={max \left|v\right|\ }$.
2. $L_1$ norma, minimalizující normu $\left\|{\mathbf v}\right\|{\rm =}\sum^n_{i{\rm =1}}{\left|v_i\right|}$, je zvláště vhodná pro vyhledávání hrubých chyb měření. Je řazena mezi robustní metody.
3. Další metody robustního odhadu.

« 11. Zákon hromadění chyb při působení systematických chyb
» 13. Metoda nejmenších čtverců