13. Metoda nejmenších čtverců

Podmínka této metody obecně zní:

$$\Omega {\rm =}\left[\hat{v}\hat{v}\right]=[pvv]={{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}=min.,$$

kde $\hat{v}=v/m$ je tzv. normovaná oprava a $p$ tzv. váha. S těmito pojmy se nyní seznámíme podrobněji.

Jsou to poměrná čísla, která kvalitativně hodnotí dosažený výsledek měření. Chceme, aby přesnější měření se ve vyrovnané veličině uplatnila více. Proto je zřejmá závislost na střední chybě. Váhy definujeme:

$$p_i=\frac{K}{{\overline{m}}^2_i},$$

kde $K$ je vhodně volená konstanta. Z definice vyplývají následující vztahy:

$$p_1:\ p_2:p_3:\cdots :p_n=\frac{1}{{\overline{m}}^2_1\ }:\frac{1}{{\overline{m}}^2_2}:\cdots :\frac{1}{{\overline{m}}^2_n} , p_i\cdot {\overline{m}}^2_i=K.$$

Slovně: součin váhy a čtverce střední chyby je v řadě měření konstantní. Když do tohoto vztahu teoreticky zavedeme takové měření, pro které $p_0=1$, říkáme, že tomuto měření odpovídá tzv. jednotková střední chyba ${\overline{m}}_0$. Ze vztahu přímo vyplývá význam konstanty: $K={\overline{m}}^2_0$. Obecný vztah pro volbu vah je pak:

$$p_i=\frac{{\overline{m}}^2_0}{{\overline{m}}^2_i}.$$

Maticové vyjádření soustavy vah u nekorelovaných veličin:

$${\mathbf P}=\left( \begin{array}{cccc} p_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & p_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & p_n \end{array} \right).$$

• Poznámka: Váhy $p_i$ odvodíme zcela výjimečně z empirických středních chyb $m_i$ získaných analýzou daného souboru výsledků a to při neznalosti spolehlivých hodnot středních chyb ${\overline{m}}_i$ nebo při neznalosti zákona hromadění chyb v uvažovaném případě. Praxe tedy určuje váhy dvojím způsobem. Při použití různých přístrojů, nebo metod, zvolíme váhy podle středních chyb určených pokud možno spolehlivě z dostatečně velikých výběrů. Jako konstantu $K$ můžeme zvolit čtverec základní střední chyby metody, nebo libovolnou číselnou hodnotu pro ulehčení výpočtů. Při stejné metodě měření určíme váhy podle zákona sčítání středních chyb. Napřed se zvolí vhodná váha jednotková tak, aby ostatní váhy nebyla čísla příliš velká nebo malá. Opravu $v$ budeme definovat jako rozdíl hodnoty vyrovnané a naměřené, přičemž hodnota vyrovnaná nemusí být přímo neznámá, ale může být funkcí několika neznámých. Tedy obecně:

$$v_i={\overline{l}}_i\left(x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_n\right)-l_i,$$

maticově

$${\mathbf v}=\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T\right)-{\mathbf l}. $$

Tento vztah používáme vždy linearizovaný.

Splnění podmínky minima funkce $\Omega $ se provádí postupem známým z matematiky:

$\Omega ={{\mathbf v}}^T{\mathbf P \mathbf v}=min.\ {{\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{\partial \Omega }{\partial {\mathbf x}}={\mathbf 0}}}$ a $\frac{{\partial }^2\Omega }{{\partial }^2{\mathbf x}}>{\mathbf 0}$.

Provede se řada měření (třeba i opakovaných) s různě přesnými výsledky $l_1$, …,$l_n$. Každé měření (případně skupinu opakovaných měření) pokládáme za náhodný výběr ze základního souboru možných hodnot. Dosažené výsledky představují neúplný soubor informací o neznámých skutečných hodnotách $L$.

Naměřené hodnoty jsou zatíženy různými skutečnými chybami, takže platí vztah:

$${\mathbf l}{\ +}{\ \varepsilon }{\ =}{\ L}. $$

Z měření však ${\varepsilon }_i$ a tudíž ani $L_i$ nelze určit. Hledáme proto aproximaci $L_i$. Tu nazveme vyrovnanou hodnotou, označíme ${\overline{l}}_i$ a požadujeme, aby pro hodnoty ${\overline{l}}_i-l_i=v_i$ platila podmínka $\Omega ={{\mathbf v}}^T{\mathbf P \mathbf v}=min.$ Z této podmínky již vyplynou (podle druhu úlohy) výpočetní a kontrolní vzorce.

« 12. Vyrovnání měření obecně
» 14. Vyrovnání přímých měření