14. Vyrovnání přímých měření

Do této kategorie zahrnujeme nejjednodušší případy vyrovnání, kdy měření jediné neznámé veličiny bylo několikrát opakováno. Jednotlivá měření byla provedena buď se stejnou, nebo různou přesností. Stejná přesnost dvou měření neznamená, že se oba výsledky liší o stejnou absolutní hodnotu od skutečné hodnoty $L$ měřené veličiny. V teorii chyb stejná přesnost znamená stejně přesnou metodu a stejné normální podmínky měření (stejnou skladbu elementárních chyb) neboli stejnou předem danou základní střední chybu $\overline{m}$ v řadě měření. To také vyjadřuje, že všechna měření patří k témuž základnímu souboru možných výsledků měření ($L$, ${\overline{m}}^2$).

Měření jedné veličiny $L$ několikrát opakujeme třeba i s různě přesnými pomůckami. Tento výběr $l_1$, … ,$l_n$ bude tedy pocházet z různých souborů. Obdržíme proto různorodý soubor (vlivem různé nenulové přesnosti). Přesnost každého měření $l_i$ je předem určena střední chybou ${\overline{m}}_i$, $i=1,...,n$. Zavedení vah formálně převádí směs různě přesných souborů na jednotný tzv. normovaný soubor o stejné základní přesnosti. Hledáme takovou velikost proměnné $\overline{l}$, která bude vyhovovat podmínce $\Omega ={{\mathbf v}}^T{\mathbf P \mathbf v}=min.$; $\overline{l}$ nazveme vyrovnanou veličinou.

Vektor oprav ${\mathbf v}$ má jednodušší tvar než u obecného vyrovnání, protože jde o nejjednodušší funkci jedné proměnné ${\overline{l}}_i\left(x\right)=x=\overline{l}$, pro všechna $i=1,...,\ n$. Maticově:

$${\mathbf v}={\mathbf e}\cdot \overline{l}-{\mathbf l}, $$

kde ${\mathbf e}={\left(1,\ \dots ,\ 1\right)}^T$ je jednotkový vektor. Splnění podmínky $\Omega ={{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}=min.$:

$${\left(\frac{\partial {\mathbf v}}{\partial {{\mathbf x}}^T}\right)}^T\cdot 2\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}=0, $$

konkrétně pro náš případ:

$${{\mathbf e}}^T\cdot 2\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}=0. $$

Po zkrácení dvěma a dosazení za ${\mathbf v}$ dostaneme:

$${{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot \left({\mathbf e}\cdot \overline{l}-{\mathbf l}\right)=0, $$

a z toho:

$\overline{l}=\frac{{{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}}{{{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf e}}$ , v „klasickém zápise“, $\overline{l}=\frac{\left[pl\right]}{\left[p\right]}$ .

Vzorec ukazuje výpočet tzv. obecného (váženého) průměru. Pro případ stejně přesných měření $m_1=\dots =m_n$ je ${\mathbf P}{\mathbf =}{\mathbf E}$ a vzorce se zjednoduší:

$\overline{l}=\frac{{{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf l}}{{{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf e}}$ , v „klasickém zápise”, $\overline{l}=\frac{\left[l\right]}{n}$

a mluvíme o prostém aritmetickém průměru. Důležitou kontrolou je ${{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}=0$, „klasicky“ $[pv]=0$. V případě prostého aritmetického průměru platí $[v]=0$.

Během řady opakovaných měření téže veličiny jsou konstantní a předem dány skutečná hodnota veličiny $L$ a základní střední chyby ${\overline{m}}_i$ plynoucí z podmínek měření.

Provedená řada (statistický soubor) $n$ měření je jen náhodný výběr ze základního souboru (jednoho, nebo více), kde se náhodně uplatnily jen některé chyby. Kdybychom provedli $k$ takových náhodných výběrů, dostaneme pokaždé jiné soubory $n$ měření s jinými soubory $n$ chyb, které mohou dát pokaždé jiný výběrový průměr ${\overline{l}}_i$, zatížený pokaždé jinou skutečnou chybou ${\varepsilon }_i$. Skutečné chyby výběrových průměrů působí rozptyl průměrů ${\overline{l}}_i$ kolem skutečné hodnoty $L$. Se zřetelem k vlastnostem náhodných chyb platí $E\left(\overline{l}\right)=L$.

Varianci výběrových průměrů odvodíme ze vztahu pro vážený průměr, který splňuje předpoklady pro aplikaci zákona hromadění středních chyb ${\overline{m}}^2_i={{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf M}}^2\cdot {{\mathbf f}}_l$. Po dosazení konkrétního ${{\mathbf f}}^T={\left({{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf e}\right)}^{-1}\cdot {{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}$ a s uvážením, že platí ${\mathbf P}\cdot {{\mathbf M}}^2={\mathbf E}\cdot {\overline{m}}^2_0$ dostaneme po úpravě:

$${\overline{m}}^2_i={\left({{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf e}\right)}^{-1}\cdot {{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf \Sigma }\cdot {{\mathbf P}}^T\cdot {\mathbf e}\cdot {\left({\left({{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf e}\right)}^{-1}\right)}^T, $$

$${\overline{m}}^2_i={\overline{m}}^2_0\cdot {\left({{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf e}\right)}^{-1}.$$

${\overline{m}}^2_i=\frac{{\overline{m}}^2_0}{{{\mathbf e}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf e}}$ , „klasicky” ${\overline{m}}^2_i=\frac{{\overline{m}}^2_0}{\left[p\right]}$ .

Pro případ aritmetického průměru, kde všechna $p_i\ =1$, se vztah upraví na:

$${\overline{m}}^2_i=\frac{{\overline{m}}^2_0}{n}, $$

kde ${\overline{m}}^2_i$ jako míra přesnosti průměru $\overline{l}$ charakterizuje koncentraci možných výběrových průměrů kolem skutečné hodnoty měřené veličiny. Použijeme-li interval spolehlivosti, pak např. pro riziko $\alpha =0,01$ očekáváme, že chyba ${\varepsilon }_i$ nepřekročí meze $\pm 2,5\cdot {\overline{m}}_l$ a skutečná hodnota $L$ bude ležet v mezích $\overline{l}\pm 2,5\cdot {\overline{m}}_l$.

• Poznámka: Výběrové průměry mají větší koncentraci kolem skutečné hodnoty než původní měření. Koncentrace roste s velikostí výběru. Proto v dostatečně velikém výběru bude průměr spolehlivým odhadem skutečné hodnoty měřené veličiny. Následující obrázek však ukazuje, že není hospodárné dosahovat zvýšené přesnosti velkým počtem opakovaných měření (přesnost se zvýší jen nepatrně), ale že je vhodnější použít přesnějšího přístroje, nebo metody s menší základní střední chybou $\overline{m}$.

;#; Obr. 1 Vývoj střední chyby výběrového průměru ;#;

« 13. Metoda nejmenších čtverců
» 15. Vyrovnání zprostředkujících měření