« 3. Volba koeficientu spolehlivosti
» 5. Vytyčení polohy bodu polární metodou
Měřená veličina, ať už je to délka, směr nebo zenitový úhel, má určitou přesnost. Tato přesnost se skládá z přesnosti měření přístrojem ${\sigma }_m$ (např. pro vodorovné směry cílení, odečtení, pro zenitové úhly ještě urovnání indexů), a přesností signalizace počátečního a koncového bodu měřené veličiny. Při geodetických měřeních je na „počátečním“ bodě umístěn (zcentrován) přístroj a na „koncovém” cíl. Vliv umístění cíle lze popsat hodnotou ${\sigma }_{CC}$, vliv umístění přístroje ${\sigma }_{CP}$. Celková směrodatná odchylka ${\sigma }_v$ určované veličiny se pak určí:
$${\sigma }^2_v={\sigma }^2_m+{\sigma }^2_{CP}+{\sigma }^2_{CC}. $$
Přesnost měření přístrojem za daných podmínek je obvykle známa od výrobce či z testování, přesnost umístění přístroje a cíle příslušnými pomůckami obvykle také, jejich vliv na přesnost měřené veličiny je však proměnlivý a pro jednotlivé veličiny měřené na stanovisku může na kratší vzdálenosti značně převýšit samotnou velikost chyby měření. Zároveň jsou mezi jednotlivá měření na stanovisku vnášeny závislosti (korelace), neboť skutečná chyba umístění přístroje je stejná pro všechny veličiny.
Tento typ chyb působících na měření není vhodné podceňovat. Odvození vzorců pro výpočet jejich vlivu bude uvedeno dále, zde jen pro ilustraci několik hodnot: na vzdálenost $100\ m$ způsobí chyba v centraci přístroje $1\ mm$ chybu ve směru $0,6\ mgon$; na vzdálenost $50\ m$ již $1,3\ mgon$ a na $25\ m$ $2,5\ mgon$. Z těchto hodnot vyplývá, že je vhodné zejména při pracech náročných na přesnost zvážit typ a přesnost centrace a určení výšky přístroje.
Dále bude popsán postup odvození těchto vlivů a míry jejich vzájemné závislosti.
Přesnost centrace a určení výšky přístroje/cíle lze popsat kovarianční maticí ve tvaru:
$${{\mathbf M}}_C=\left( \begin{array}{ccc} {\sigma }^2_{xy} & 0 & 0 \\ 0 & {\sigma }^2_{xy} & 0 \\ 0 & 0 & {\sigma }^2_z \end{array} \right) .$$
Přesnost centrace lze popsat kružnicí chyb o poloměru ${\sigma }_{xy}$ a přesnost určení výšky přístroje směrodatnou odchylkou ${\sigma }_z$. Kružnice chyb je použita, protože přesnost centrace, ačkoli obecně nelze zaručit, že je ve všech směrech stejná, je za takovou pro potřeby výpočtů a hodnocení přesnosti považována.
Veličiny týkající se cíle budou značeny doplňkovým indexem $_{CC}$, veličiny týkající se přístroje indexem ${\ }_{CP}$. Kovarianční matice popisující vliv centrace a určení výšky cíle tedy bude značena ${{\mathbf M}}_{CC}$, vliv pro přístroj ${{\mathbf M}}_{CP}$.
Tento vliv značí, že měřená veličina je určována mezi jinými body, než je třeba. Rozdíl mezi ideální a skutečnou polohou lze popsat pouze statisticky dvou nebo třírozměrným normálním rozdělením vyjádřeným kovarianční maticí. Jedná se tedy o analogii chyby podkladu. Pro měřenou veličinu $v$ se vliv vypočítá pomocí zákona hromadění směrodatných odchylek. Měřená veličina se vyjádří jako funkce souřadnic stanoviska $S$ a cíle $C$.
$$v=f\left(x_S,y_S,z_S;;x_C,y_C,z_C\right) . $$
Vliv přesnosti centrace ${\sigma }_{CP}$ přístroje lze vyjádřit zákonem hromadění směrodatných odchylek ve tvaru:
$${\sigma }^{{\rm 2}}_{CP}{\rm =}{{\mathbf a}}_S\cdot {{\mathbf M}}_{CP}\cdot {{\mathbf a}}^T_S ,$$ $$ {{\mathbf a}}_S{\rm =}\left( \begin{array}{ccc}\frac{\partial v}{\partial x_S} & \frac{\partial v}{\partial y_S} & \frac{\partial v}{\partial z_S} \end{array} \right).$$
Po roznásobení vzhledem k nulovým kovariancím v matici ${{\mathbf M}}_{CP}$ platí:
$${\sigma }^{{\rm 2}}_{CP}={\sigma }^2_x\cdot {\left(\frac{\partial v}{\partial x_S}\right)}^2+{\sigma }^2_y\cdot {\left(\frac{\partial v}{\partial y_S}\right)}^2+{\sigma }^2_z\cdot {\left(\frac{\partial v}{\partial z_S}\right)}^2, $$
$${\sigma }^{{\rm 2}}_{CP}={\sigma }^2_{xy}\cdot \left\{{\left(\frac{\partial v}{\partial x_S}\right)}^2+{\left(\frac{\partial v}{\partial y_S}\right)}^2\right\}+{\sigma }^2_z\cdot {\left(\frac{\partial v}{\partial z_S}\right)}^2 . $$
Při vyčíslení derivací a znalosti odhadu přesnosti centrace přístroje lze určit odhad vlivu centrace na měřenou veličinu.
Pro určení vlivu centrace cíle ${\sigma }_{CC}$ se obdobně jako v předchozím případě ve vektoru ${\mathbf a}$ derivuje veličina $v$ podle souřadnic cíle a kovarianční matice se použije ${{\mathbf M}}_{CC}$, popisující přesnost centrace a určení výšky cíle:
$${\sigma }^{{\rm 2}}_{CC}{\rm =}{{\mathbf a}}_C\cdot {{\mathbf M}}_{CC}\cdot {{\mathbf a}}^T_C , {{\mathbf a}}_C{\rm =}\left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial v}{\partial x_C} & \frac{\partial v}{\partial y_C} & \frac{\partial v}{\partial z_C} \end{array} \right).$$
« 3. Volba koeficientu spolehlivosti
» 5. Vytyčení polohy bodu polární metodou