Určitou veličinu $X$ můžeme měřit různými metodami (různý přístroj, postup, předepsané meteorologické podmínky a kvalita měřiče). Např. vzdálenost můžeme měřit pásmem nebo dálkoměrem. Každé metodě bude příslušet jiný počet a jiné elementární chyby. Takto bude pro každou metodu a střední podmínky dán předem příslušný základní soubor možných měření $l_i$ a tedy i chyb ${\varepsilon }_i = L - l_i$ s určitými parametry rozdělení (střední hodnotou a variancí).

Při srovnání dvou metod měření označujeme jako přesnější tu metodu, kde možné výsledky měření mají větší koncentraci (menší rozptyly kolem skutečné hodnoty měřené veličiny). Přesnost metody měření je stupeň této koncentrace a míry koncentrace jsou míry přesnosti metody měření. Jako míry přesnosti se používají (analogie měr proměnlivosti u náhodných veličin):

• střední (kvadratická) chyba,
• průměrná chyba,
• pravděpodobná chyba.

Nejvhodnější mírou koncentrace náhodné veličiny $X$ je střední kvadratická odchylka od střední hodnoty (standard). Její čtverec (variance) je druhý centrální moment (náhodná variance)

$$ V\left(x\right)={\sigma }^2=E{\left\{x-E\left(x\right)\right\}}^2=E({\Delta }^2), $$

$$ E\left(\Delta \right)=0. $$

V případě měření uvažujeme skutečné chyby (odchylky od skutečné hodnoty) a mírou přesnosti je odmocnina ze střední hodnoty čtverce (všech možných hodnot) chyb neboli základní střední (kvadratická) chyba měření $\overline{m}$. Její čtverec je druhý počáteční moment chyb (úplná variance)

$$ {\overline{m}}^2=E{\left(L-l\right)}^2=E\left({\varepsilon }^2\right), $$

$$ \overline{m}=\sqrt{E\left({\varepsilon }^2\right)}=konst. $$

Čtverec základní střední chyby je střední čtverec skutečné chyby. Hodnota $\overline{m}$ charakterizuje jedním číslem celý základní soubor chyb, tj. všechny možné jeho hodnoty. Současně hodnotí přesnost měření; při srovnávání dvou metod znamená větší hodnota $\overline{m}$ menší přesnost metody (včetně kvality přístroje, měřiče a vnějších podmínek). Pro určitou metodu a veličinu a normální (střední) podmínky je hodnota $\overline{m}$ předem dána, je konstantní během celého měření a nezávislá na prováděném nebo teprve plánovaném měření.

Uvedená definice základní střední chyby platí obecně, tj. i když působí systematická chyba a platí:

$$ E\left(l\right)=L-\overline{c}\ \ne L, $$

$$ E\left(\varepsilon \right)=\overline{c}\ne 0. $$

V obecném případě nejsou totožné základní střední chyba $\overline{m}$ se standardem $\sigma $ a její čtverec s variancí měření:

$$ {\sigma }^2=E{\left\{\varepsilon -E\left(\varepsilon \right)\right\}}^2=E{\left(\varepsilon -\overline{c}\right)}^2=E({\triangle }^2). $$

$$ E\left(\triangle \right)=0. $$

Shoda je jen v případě náhodných chyb, kdy

$$ E\left(\varepsilon \right)=\overline{c}=0, E\left(l\right)=L , $$

$$ \overline{m}=\sigma . $$

Proto se ${\overline{m}}^2$ nazývá také úplná variance. Základní střední chyba $\overline{m}$ jako míra přesnosti musí vyjadřovat všechny vlivy (složky) znehodnocující výsledek měření, tedy i chyby systematické.

Dále platí pro určitou metodu a podmínky měření

$$ E\left({\varepsilon }^2\right)=E\left({\triangle }^2\right)+2E\left(\triangle \right)\overline{c}+{\overline{c}}^2=E\left({\triangle }^2\right)+{\overline{c}}^2, $$

neboli

$$ {\overline{m}}^2={\sigma }^2+{\overline{c}}^2, $$

kde

$\overline{m}$ je základní střední chyba úplná, charakterizující reálnou přesnost měření,

${\sigma }^2$ je variance měření (náhodné složky),

$\sigma $ je standard neboli základní střední chyba (náhodná, nekorelovaná), charakterizující “vnitřní přesnost” měření,

$\overline{c}$ je systematická složka (poloha centra základního souboru úplných chyb).

Čtverec základní střední chyby je v případě náhodných chyb součet středních čtverců jednotlivých elementárních chyb.

Obecnější situaci znovu podrobněji rozebereme v dalším odstavci.

Objasníme skutečnou a vnitřní „přesnost“ měření. Nadále budeme předpokládat, že výsledná chyba měření $\varepsilon $ obsahuje chybu náhodnou $\Delta $ a chybu systematickou $c$

$$ {\varepsilon }_i={\triangle }_i+c_i, $$

a označíme ji v tomto případě jako úplnou chybu. Každé složce přísluší základní soubor možných náhodných hodnot, charakterizovaný příslušnou základní střední chybou:

$$ \overline{m}=\sqrt{E({\varepsilon }^2)}, $$

což je střední chyba úplná, zahrnující vliv chyb náhodných i systematických a vyjadřující takto skutečnou přesnost měření, plynoucí z metody a ze středních podmínek měření. Počítá se z počátečního druhého momentu chyb;

$$ \sigma =\sqrt{E({\triangle }^2)}, $$

což je střední chyba náhodná, zahrnující pouze vliv náhodných chyb včetně nepravidelných výkyvů systematických chyb ve skupině měření. Charakterizuje tzv. vnitřní přesnost měření. Platí $E(\Delta )\ =\ 0$, takže se počítá z druhého centrálního momentu náhodných chyb

$$ {\overline{m}}_c=\sqrt{E(c^2)}, $$

což je střední chyba systematická (při proměnlivosti systematické chyby téhož druhu v různých skupinách měření). Vyjadřuje systematické vlivy (chyby v parametrech přístrojů, osobní chyby, centrace, vliv prostředí, …).

Podle vět o středních hodnotách platí:

$$ {\overline{m}}^2={\sigma }^2+{\overline{m}}^2_c. $$

Z konečného souboru měření (chyb) vypočteme odhady (empirické hodnoty) střední chyby úplné $m$ a střední chyby náhodné $s$ podle

$$ m^2=\frac{\left[\varepsilon \varepsilon \right]}{n}, $$

$$ s^2=\frac{\left[\triangle \triangle \right]}{n}, $$

$$ m^2=\frac{\left[vv\right]}{n'}, $$

$$s^2=\frac{\left[\varepsilon '\varepsilon '\right]}{n-1}, $$

kde $n'$ je počet nadbytečných měření a $\varepsilon '=\ \varepsilon \ -\ [\varepsilon ]/n$ jsou redukované chyby.

V praxi se často dají první dvě střední chyby vypočítat záměrným sdružením měření nebo chyb a střední chyba systematická se odhaduje z rovnice

$$ m^2_c=m^2-s^2. $$

U proměnlivé systematické chyby zůstává v opravách utajena její průměrná hodnota.

Pojem celkové (tzv. vnější) a vnitřní přesnosti je opět relativní, podle toho, které složky chceme podchytit a odhadnout. Např. z opakovaných měření úhlů na témže místě děleného kruhu vypočteme střední chybu $s$, zachycující zejména chyby z pointace a čtení. Z měření při čtení na různých místech děleného kruhu dostaneme střední chybu $m$ a $m_c$ vyjádří střední chybu v dělení kruhu. Přitom může zůstat utajena chyba z centrace a jiné. Při současném měření délky opakovaně různými měřítky, odhadneme z opakovaných měření týmž měřítkem vnitřní střední chybu $s$, z rozdílů měření různými měřítky odhadneme $m$ a $m^2_c=m^2-s^2$ vyjádří střední chybu v etalonáži měřítka. Neobsáhne však společný vliv prostředí (např. teploty) na všechna měřítka. Různá kritéria k odhadu střední systematické chyby budou uvedena později.

Mírou přesnosti měření (charakteristikou základního souboru chyb) může být také střední nebo průměrná absolutní hodnota chyby, označovaná jako průměrná (lineární) chyba. Je to první absolutní moment chyb (základní nebo empirický):

$$ {\overline{\nu }}_{\left|1\right|}=E\left(\left|\varepsilon \right|\right), $$

$$ {\overline{\nu }}_{\left|1\right|}=\frac{\left[\left|\varepsilon \right|\right]}{n}, $$

$$ {\mathop{\lim }_{n\to \infty } {\nu }_{\left|1\right|}={\overline{\nu }}_{\left|1\right|}\ }. $$

První hodnota je základní, druhá empirická průměrná (lineární) chyba (odhad základní hodnoty).

Pravděpodobná chyba je další možnou mírou přesnosti. V základním souboru chyb má takovou číselnou hodnotu, že polovina možných chyb má absolutní hodnoty větší a polovina menší. Jinými slovy každá chyba může být se stejnou pravděpodobností větší nebo menší než základní pravděpodobná chyba

$$ P\left(\left|\varepsilon \right|>\overline{r}\right)=P\left(\left|\varepsilon \right|<\overline{r}\right)=0,5. $$

Její empirickou hodnotu v souboru $n$ chyb najdeme, když chyby seřadíme podle absolutní velikosti. Empirická pravděpodobná chyba leží uprostřed řady (při sudém počtu chyb se interpoluje mezi obě prostřední hodnoty).

V základním souboru náhodných chyb s normálním rozdělením $N(0,{\sigma }^2)$ platí určitý poměr mezi uvedenými třemi základními měrami přesnosti:

$$ {{\sigma }/{{\overline{\nu }}_{\left|1\right|}}}/{\overline{r}}\cong {{1}/{0,80}}/{0,67} , \sigma \cong 1,25\ {\overline{\nu }}_{\left|1\right|}\cong 1,50\ \overline{r} . $$

Ve velkém souboru daných chyb jej můžeme aplikovat a empirickou střední chybu přibližně vypočítat z pohodlnějšího vzorce

$$ m\cong 1,25\ {\overline{\nu }}_{\left|1\right|}=1,25\frac{\left[\left|\varepsilon \right|\right]}{n}. $$

V teorii i praxi se dává přednost střední (kvadratické) chybě. Je citlivější na výskyt velkých chyb, a proto lépe vystihuje různou přesnost dvou souborů.

• Poznámka k symbolice: Symbolem $\sigma $, definovaném rovnicí ${\sigma }^2=E{\left\{x-E\left(x\right)\right\}}^2$, označujeme střední kvadratickou odchylkou, vyjadřující přesnost veličiny $x$ ovlivněnou pouze nahodilými chybami, definovanou pro tzv. základní (v tomto případě nekonečně veliký) soubor. Její odhad, počítaný ze souboru velikosti $n$, označujeme $s$ a počítáme ze vztahu $s^2=[{\Delta }^2]/n$ či $s^2=[vv]/(n-k)$, stále za předpokladu nepůsobení systematické chyby. Tyto charakteristiky jsou občas zjednodušeně nazývány směrodatnými odchylkami. Tento název je používán ve statistice a některých stavebních profesích. V geodézii se většinou používá obecnější označení $\overline{m}$ (ev. $m$) s názvem střední chyba, podle vzorce $\overline{m}=\sqrt{E\left({\varepsilon }^2\right)}=konst.$ . Tato je v případě nepůsobení systematické chyby shodná se střední kvadratickou odchylkou $\sigma $ (ev. $s$). V názvu střední kvadratická odchylka je naznačena tvorba vztahu: jde o „střední” (jakousi průměrnou) hodnotu počítanou z kvadrátů speciální odchylky (od střední hodnoty).

Při určité metodě měření dané fyzikální veličiny jsou parametry $\overline{c}$ a $\sigma $ pomyslného základního souboru všech možných výsledků produktem podmínek měření. Jsou to zejména typ a kvalita přístroje, kvalita měřiče, jeho okamžitý psychický stav, stav vnějšího prostředí (zejména meteorologické poměry). Některé podmínky se postupně mění a řadě opakovaných měření $l_1$, $l_2$, $l_3$, $\dots$ teoreticky příslušejí různé základní soubory s “okamžitými” parametry ${\overline{c}}_1$, ${\sigma }_1$, ${\overline{c}}_1$, ${\sigma }_2$, $dots$ . Pro oba tyto parametry je možné uvažovat variační intervaly

$$ 0<\left|\overline{c}\right|<{\left|\overline{c}\right|}_{max}, $$

$$ {\sigma }_{min}<\ \sigma <{\sigma }_{max}, $$

kde dolní mez platí pro nejlepší možné podmínky a horní mez pro nejméně příznivé (ale ještě pro metodu přípustné). Překročení $\sigma \ > {\sigma }_{max}$ znamená, že měření již nepřísluší definované metodě (např. přesné nivelaci), resp. vyhovuje již jen méně přesné metodě s hrubším přístrojem a méně přísnými pravidly (např. technické nivelaci).

Hodnota základní míry přesnosti metody $\overline{m}$ nebo $\sigma$ se v praxi stanoví buď jednotně a celostátně, anebo se diferencuje podle místní kvality podmínek. Např. se zvýší pro velmi svahovitý terén, pro území s horším klimatem apod.

• Mezní chyba (dříve označovaná jako největší přípustná chyba, také mezní odchylka) se v praxi stanoví jako dvojnásobek až trojnásobek základní střední chyby podle významnosti měření a souvisí s problémem určení intervalu spolehlivosti

$$ \left|{\varepsilon }_{\alpha }\right|=2\ \overline{m}\ až\ 3\ \overline{m}. $$

Číselná hodnota $\overline{m}$ se případně diferencuje podle podmínek měření.

• Empirická střední chyba. V běžné praxi se většinou vyskytují malé soubory opakovaných měření nebo chyb stejného druhu (jednotlivé menší sítě apod.). Mírou koncentrace chyb kolem střední nulové hodnoty bude zde náhodná veličina

$$ m^2=\frac{\left[{\varepsilon }^2\right]}{n} , m=\sqrt{\frac{\left[{\varepsilon }^2\right]}{n}} . $$

Výsledkem bude empirická střední kvadratická chyba měření $m$, zkráceně střední chyba, která reprezentuje jedním číslem daný soubor $n$ chyb. Je to náhodná veličina, protože je vypočítána z konečného počtu $n$ chyb (z neúplných informací o hodnotě $\overline{m}$ a její hodnota závisí na střetnutí $n$ náhodných hodnot jednotlivých chyb. Je proto jen odhad přesnosti měření, který dostaneme jako odmocninu z průměrné hodnoty (a nikoli střední hodnoty) čtverce chyb. Přidání dalších chyb téhož druhu (další informace) změní její náhodnou hodnotu. Podle statistických pojmů je $n$ vyskytnuvších se chyb náhodný výběr ze základního souboru všech možných chyb. Empirická hodnota $m$ má proto také označení „výběrová střední chyba“.

Podobně jako u čtverce základní střední chyby $\overline{m}$ se počítá $m^2$ jako empirický druhý počáteční moment chyb.

V případě výpočtu empirické střední chyby z oprav $v$ má vzorec tvar:

$$ m=\sqrt{\frac{\left[vv\right]}{n-k}} , $$

kde $n$ je počet oprav a $k$ počet nutných měření, $(n-k)$ je tedy počet nadbytečných měření.

« 2. Zákonitosti náhodných chyb. Elementární chyby, základní a výběrové míry přesnosti
» 4. Některá rozdělení náhodných veličin