Číselné hodnoty udávající výsledky měření jsou poněkud jiného druhu než “čistá” čísla v matematickém smyslu. Ke každé nalezené hodnotě $l$ měřené veličiny $L$ patří skutečná chyba $\varepsilon $ anebo obor nejistoty (nepřesnosti), s jakou byl výsledek určen. Nepracujeme proto s přesnými čísly, ale s hodnotami přibližnými. Standardní možnou odchylku udává střední kvadratická chyba ${\overline{m}}_l$; v praxi se obvykle uvažuje tzv. variační obor (interval spolehlivosti) $l\pm 2,5\cdot {\overline{m}}_l$, ve kterém s praktickou jistotou leží neznámá skutečná hodnota $L$ měřené veličiny. Výsledek měření se svou střední chybou tvoří vždy pár sdružených čísel ($l$; $\overline{m}$). Měřená hodnota a její střední chyba se musí při zpracování dat uplatňovat vždy společně: nejistota naměřeného výsledku se totiž přenáší na součet, násobek nebo jinou libovolnou funkci měřených veličin. Při odhadu střední chyby z daného výběru se musíme spokojit s empirickou (výběrovou) střední chybou $m_l$ a výsledkem ($l$; $m_l$).

Pravidla, podle nichž lze určit vliv chyb v měřených veličinách na jejich funkce, se shrnují pod názvem “zákon přenášení (hromadění) chyb”. Je to nejdůležitější zákon v oboru praktického měření. Jedině jeho dokonalá znalost vede k ekonomickému měření a počítání, tj. k vypracování takové metody měření, konstrukce přístroje nebo početního postupu, kdy dosáhneme požadované přesnosti výsledku s nejmenším vynaložením času a sil.

V této části budeme uvažovat měření nebo chyby vzájemně nezávislé (nekorelované). Obecnější zákon při působení systematických chyb nebo při korelaci bude podán později.

Řešme úlohu odhadnout skutečnou chybu funkce

$$ f=f\left({{\mathbf l}}^T\right) $$

nebo obecněji

$$ g\left(f\right)=f\left({{\mathbf l}}^T\right) $$

naměřených nezávislých veličin ${\mathbf l}$, jejichž skutečné chyby ${\mathbf \varepsilon }$ známe. Tento předpoklad nebude většinou splněn. Pro další odvození požadujeme splnění těchto předpokladů:

1. funkce $f$, $g$ mají spojité parciální derivace podle jednotlivých proměnných alespoň druhého řádu;
2. skutečné chyby všech proměnných jsou relativně malé.

Označíme-li správné hodnoty funkce $F=f+{\varepsilon }_f$ a měření ${\mathbf L}={\mathbf l}+{\mathbf \varepsilon }$, můžeme napsat

$$ F{\rm =}f{\rm +}{\varepsilon }_f{\rm =}f\left({{\mathbf l}}^T{\rm +}{{\mathbf \varepsilon }}^T\right), $$

odkud

$$ {\varepsilon }_f=f\left({{\mathbf l}}^T{\rm +}{{\mathbf \varepsilon }}^T\right){\rm -}f. $$

Provedeme rozvoj funkce $f$ v Taylorovu řadu a omezíme se na členy 1. řádu:

$$ {\varepsilon }_f=f\left({{\mathbf l}}^T\right){\rm +}{\left.\frac{\partial {\rm f}}{\partial {\mathbf L}}\right|}_{L=l}\cdot \varepsilon {\rm -}f $$

a při označení vektoru parciálních derivací

$$ {\left.\frac{\partial {\rm f}}{\partial {\mathbf L}}\right|}_{L=l}=\left(\frac{\partial {\rm f}}{\partial l_1},\frac{\partial {\rm f}}{\partial l_2},\ \dots ,\frac{\partial {\rm f}}{\partial l_n}\right)={{\mathbf f}}^T_l, $$

dostaneme tzv. „zákon hromadění skutečných chyb“:

$$ {\varepsilon }_f={{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }. $$

Podobně pro obecnější model bude platit vztah:

$$ g\left(f+{\varepsilon }_f\right)\ =\ f\left({{\mathbf l}}^T\ +\ {{\mathbf \varepsilon }}^T\right). $$

Pravou stranu rovnice upravíme jako v předchozím postupu a levou stranu rozvedeme Taylorovou řadou s omezením na členy prvního řádu:

$$ g\left(f\right)+{\left.\frac{\partial g}{\partial f}\right|}_{F=f}\cdot {\varepsilon }_f=f\left({{\mathbf l}}^T\right)+f^T_l\cdot \varepsilon , $$

kde označíme derivaci $g_f={\left.\frac{\partial g}{\partial f}\right|}_{F=f}$ při platnosti $g_f\ne 0$. Dostaneme tak obecnější vyjádření zákona hromadění skutečných chyb

$$ {\varepsilon }_f=\frac{1}{g_f}{{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }. $$

Pro praktické výpočty stačí do parciálních derivací dosazovat naměřené, nebo přibližné hodnoty proměnných. Uvedené vztahy se dají použít i pro obrácenou úlohu.

« 8. Zákon rozdělení chyb v prostoru
» 10. Zákon hromadění středních chyb