User Tools

Site Tools


04_teorie_chyb:0409_zakon_hromadeni_skut_chyb

Teorie chyb

« 8. Zákon rozdělení chyb v prostoru
» 10. Zákon hromadění středních chyb

9. Zákon hromadění skutečných chyb

Skutečná chyba funkce měřených veličin

Číselné hodnoty udávající výsledky měření jsou poněkud jiného druhu než “čistá” čísla v matematickém smyslu. Ke každé nalezené hodnotě ll měřené veličiny LL patří skutečná chyba ε\varepsilon anebo obor nejistoty (nepřesnosti), s jakou byl výsledek určen. Nepracujeme proto s přesnými čísly, ale s hodnotami přibližnými. Standardní možnou odchylku udává střední kvadratická chyba ml{\overline{m}}_l; v praxi se obvykle uvažuje tzv. variační obor (interval spolehlivosti) l±2,5mll\pm 2,5\cdot {\overline{m}}_l, ve kterém s praktickou jistotou leží neznámá skutečná hodnota LL měřené veličiny. Výsledek měření se svou střední chybou tvoří vždy pár sdružených čísel (ll; m\overline{m}). Měřená hodnota a její střední chyba se musí při zpracování dat uplatňovat vždy společně: nejistota naměřeného výsledku se totiž přenáší na součet, násobek nebo jinou libovolnou funkci měřených veličin. Při odhadu střední chyby z daného výběru se musíme spokojit s empirickou (výběrovou) střední chybou mlm_l a výsledkem (ll; mlm_l).

Pravidla, podle nichž lze určit vliv chyb v měřených veličinách na jejich funkce, se shrnují pod názvem “zákon přenášení (hromadění) chyb”. Je to nejdůležitější zákon v oboru praktického měření. Jedině jeho dokonalá znalost vede k ekonomickému měření a počítání, tj. k vypracování takové metody měření, konstrukce přístroje nebo početního postupu, kdy dosáhneme požadované přesnosti výsledku s nejmenším vynaložením času a sil.

V této části budeme uvažovat měření nebo chyby vzájemně nezávislé (nekorelované). Obecnější zákon při působení systematických chyb nebo při korelaci bude podán později.

Řešme úlohu odhadnout skutečnou chybu funkce

f=f(lT) f=f\left({{\mathbf l}}^T\right)

nebo obecněji

g(f)=f(lT) g\left(f\right)=f\left({{\mathbf l}}^T\right)

naměřených nezávislých veličin l{\mathbf l}, jejichž skutečné chyby ε{\mathbf \varepsilon } známe. Tento předpoklad nebude většinou splněn. Pro další odvození požadujeme splnění těchto předpokladů:

  1. funkce ff, gg mají spojité parciální derivace podle jednotlivých proměnných alespoň druhého řádu;
  2. skutečné chyby všech proměnných jsou relativně malé.

Označíme-li správné hodnoty funkce F=f+εfF=f+{\varepsilon }_f a měření L=l+ε{\mathbf L}={\mathbf l}+{\mathbf \varepsilon }, můžeme napsat

F=f+εf=f(lT+εT), F{\rm =}f{\rm +}{\varepsilon }_f{\rm =}f\left({{\mathbf l}}^T{\rm +}{{\mathbf \varepsilon }}^T\right),

odkud

εf=f(lT+εT)f. {\varepsilon }_f=f\left({{\mathbf l}}^T{\rm +}{{\mathbf \varepsilon }}^T\right){\rm -}f.

Provedeme rozvoj funkce ff v Taylorovu řadu a omezíme se na členy 1. řádu:

εf=f(lT)+fLL=lεf {\varepsilon }_f=f\left({{\mathbf l}}^T\right){\rm +}{\left.\frac{\partial {\rm f}}{\partial {\mathbf L}}\right|}_{L=l}\cdot \varepsilon {\rm -}f

a při označení vektoru parciálních derivací

fLL=l=(fl1,fl2, ,fln)=flT, {\left.\frac{\partial {\rm f}}{\partial {\mathbf L}}\right|}_{L=l}=\left(\frac{\partial {\rm f}}{\partial l_1},\frac{\partial {\rm f}}{\partial l_2},\ \dots ,\frac{\partial {\rm f}}{\partial l_n}\right)={{\mathbf f}}^T_l,

dostaneme tzv. „zákon hromadění skutečných chyb“:

εf=flTε. {\varepsilon }_f={{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }.

Podobně pro obecnější model bude platit vztah:

g(f+εf) = f(lT + εT). g\left(f+{\varepsilon }_f\right)\ =\ f\left({{\mathbf l}}^T\ +\ {{\mathbf \varepsilon }}^T\right).

Pravou stranu rovnice upravíme jako v předchozím postupu a levou stranu rozvedeme Taylorovou řadou s omezením na členy prvního řádu:

g(f)+gfF=fεf=f(lT)+flTε, g\left(f\right)+{\left.\frac{\partial g}{\partial f}\right|}_{F=f}\cdot {\varepsilon }_f=f\left({{\mathbf l}}^T\right)+f^T_l\cdot \varepsilon ,

kde označíme derivaci gf=gfF=fg_f={\left.\frac{\partial g}{\partial f}\right|}_{F=f} při platnosti gf0g_f\ne 0. Dostaneme tak obecnější vyjádření zákona hromadění skutečných chyb

εf=1gfflTε. {\varepsilon }_f=\frac{1}{g_f}{{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }.

Pro praktické výpočty stačí do parciálních derivací dosazovat naměřené, nebo přibližné hodnoty proměnných. Uvedené vztahy se dají použít i pro obrácenou úlohu.


« 8. Zákon rozdělení chyb v prostoru
» 10. Zákon hromadění středních chyb

04_teorie_chyb/0409_zakon_hromadeni_skut_chyb.txt · Last modified: 2024/09/17 08:15 by 127.0.0.1