« 8. Zákon rozdělení chyb v prostoru
» 10. Zákon hromadění středních chyb
9. Zákon hromadění skutečných chyb
Skutečná chyba funkce měřených veličin
Číselné hodnoty udávající výsledky měření jsou poněkud jiného druhu než “čistá” čísla v matematickém smyslu. Ke každé nalezené hodnotě měřené veličiny patří skutečná chyba anebo obor nejistoty (nepřesnosti), s jakou byl výsledek určen. Nepracujeme proto s přesnými čísly, ale s hodnotami přibližnými. Standardní možnou odchylku udává střední kvadratická chyba ; v praxi se obvykle uvažuje tzv. variační obor (interval spolehlivosti) , ve kterém s praktickou jistotou leží neznámá skutečná hodnota měřené veličiny. Výsledek měření se svou střední chybou tvoří vždy pár sdružených čísel (; ). Měřená hodnota a její střední chyba se musí při zpracování dat uplatňovat vždy společně: nejistota naměřeného výsledku se totiž přenáší na součet, násobek nebo jinou libovolnou funkci měřených veličin. Při odhadu střední chyby z daného výběru se musíme spokojit s empirickou (výběrovou) střední chybou a výsledkem (; ).
Pravidla, podle nichž lze určit vliv chyb v měřených veličinách na jejich funkce, se shrnují pod názvem “zákon přenášení (hromadění) chyb”. Je to nejdůležitější zákon v oboru praktického měření. Jedině jeho dokonalá znalost vede k ekonomickému měření a počítání, tj. k vypracování takové metody měření, konstrukce přístroje nebo početního postupu, kdy dosáhneme požadované přesnosti výsledku s nejmenším vynaložením času a sil.
V této části budeme uvažovat měření nebo chyby vzájemně nezávislé (nekorelované). Obecnější zákon při působení systematických chyb nebo při korelaci bude podán později.
Řešme úlohu odhadnout skutečnou chybu funkce
nebo obecněji
naměřených nezávislých veličin , jejichž skutečné chyby známe. Tento předpoklad nebude většinou splněn. Pro další odvození požadujeme splnění těchto předpokladů:
- funkce , mají spojité parciální derivace podle jednotlivých proměnných alespoň druhého řádu;
- skutečné chyby všech proměnných jsou relativně malé.
Označíme-li správné hodnoty funkce a měření , můžeme napsat
odkud
Provedeme rozvoj funkce v Taylorovu řadu a omezíme se na členy 1. řádu:
a při označení vektoru parciálních derivací
dostaneme tzv. „zákon hromadění skutečných chyb“:
Podobně pro obecnější model bude platit vztah:
Pravou stranu rovnice upravíme jako v předchozím postupu a levou stranu rozvedeme Taylorovou řadou s omezením na členy prvního řádu:
kde označíme derivaci při platnosti . Dostaneme tak obecnější vyjádření zákona hromadění skutečných chyb
Pro praktické výpočty stačí do parciálních derivací dosazovat naměřené, nebo přibližné hodnoty proměnných. Uvedené vztahy se dají použít i pro obrácenou úlohu.
« 8. Zákon rozdělení chyb v prostoru
» 10. Zákon hromadění středních chyb