Způsobu vyrovnání zprostředkujících měření používáme v případech, kdy hledané neznámé veličiny se neměří přímo, ale určují se prostřednictvím jiných měřených veličin, které jsou s neznámými ve známém vztahu. Konaná měření se zde nazývají nepřímá neboli zprostředkující. V předešlém případě přímých měření se měřením určovala jediná neznámá veličina, nyní se může současně určovat i více neznámých. K vyrovnání dojde, jestliže konáme nadbytečná měření, takže můžeme sestavit více rovnic, než je neznámých. Zprostředkující měření jsou zatížena nevyhnutelnými chybami, které se přenášejí i na odhady neznámých. Vyrovnáním budeme hledat nejspolehlivější hodnoty neznámých a jejich střední chyby, eventuálně vyrovnaná zprostředkující měření a jejich střední chyby.

Hledané neznámé podléhají naší volbě. Jejich počet a charakter musí být takový, aby jednoznačně určovaly danou situaci. To znamená, že jejich počet bude odpovídat počtu nutných měření a nebudou mezi nimi existovat funkční závislosti. Potom půjde bez problémů pro každé provedené zprostředkující měření sestavit vztah typu:

$${\mathbf L}={\mathbf l}+{\mathbf \varepsilon }={\mathbf L}\left({\overline{{\mathbf x}}}^T\right).$$

Podle obecné formulace vztah upravíme na tvar:

$\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}+{\mathbf v}=\overline{{\mathbf l}}({{\mathbf x}}^T),$ kde $\overline{{\mathbf l}}$ a ${\mathbf L}$ jsou stejné funkce,

z něhož přímo vyplývá tzv. rovnice oprav:

$${\mathbf v}=\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T\right)-{\mathbf l},$$

pro kterou požadujeme splnění podmínky ${{\mathbf v}}^T{\mathbf P \mathbf v}=min.$

Předpokladem pro získání jednoduchých rovnic k výpočtu hledaných neznámých je lineární tvar rovnic oprav, kde jednotlivé neznámé jsou vzájemně odděleny. Tato tzv. linearizace se provede rozvojem funkčního vztahu v Taylorovu řadu s omezením na členy prvého řádu. Proto musíme zavést dostatečně přibližné hodnoty neznámých ${{\mathbf x}}_0$, dále vyjádřit ${\mathbf x}={{\mathbf x}}_0+{\mathbf d \mathbf x}$, dosadit do rovnice oprav a provést rozvoj s omezením na členy prvého řádu:

$${\mathbf v}=\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T_0\right)+{\left.\frac{\partial \overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial {{\mathbf x}}^T}\right|}_{{\mathbf x}={{\mathbf x}}_0}\cdot {\mathbf d \mathbf x}-{\mathbf l}.$$

Po zavedení nového označení:

$${\left.\frac{\partial \overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial {{\mathbf x}}^T}\right|}_{{\mathbf x}={{\mathbf x}}_0}={\left.\left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {\overline{{\mathbf l}}}_1\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial {\overline{{\mathbf l}}}_1\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial x_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial {\overline{{\mathbf l}}}_n\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial {\overline{{\mathbf l}}}_n\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial x_k} \end{array} \right)\right|}_{{\mathbf x}={{\mathbf x}}_0}=\left( \begin{array}{c} {{\mathbf a}}^T_1 \\ \vdots \\ {{\mathbf a}}^T_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nk} \end{array} \right)={\mathbf A}$$

a $\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T_0\right)-{\mathbf l}{\mathbf =}{\mathbf l}{\mathbf '}$ s názvem redukované měření dostaneme

$${\mathbf v}={\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf l}'.$$

• Poznámka: Číselné hodnoty ${{\mathbf x}}_0$ můžeme zvolit nebo přibližně určit tak, aby se v rovnicích oprav neuplatnily členy druhého a vyšších řádů. Tyto členy nemůžeme brát v úvahu; již při dvou neznámých by normální rovnice byly kubické. Kdyby vyrovnání dalo příliš velké přírůstky ${\mathbf d \mathbf x}$, musíme výsledky vyrovnání ${{\mathbf x}}_{{\mathbf 0}}+{\mathbf d \mathbf x}$ považovat za nové přibližné hodnoty neznámých a vyrovnání opakovat. Uplatnění zanedbaných členů 2. řádu se projeví v tom, že závěrečná kontrola např. $\overline{{\mathbf l}}\left({\mathbf x}\right)={\mathbf l}+{\mathbf v}$ neuspokojí v žádoucím desetinném místě. Toto pravidlo se netýká lineárních tvarů funkce, kde můžeme volit přírůstky libovolně veliké (popř. hodnoty neznámých vůbec neredukovat). Tvar rovnic oprav zůstane stejný se substitucí ${\mathbf x}\approx {\mathbf d \mathbf x}$ , $-{\mathbf l}\approx {\mathbf l}'$.

Obecně předpokládáme, že každé měření bylo provedeno s různou přesností a tudíž každému měření a tedy i opravě přisoudíme různou váhu $p_i$. Opět jde o jisté normování.

Podmínku MNČ ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}=min.$ splníme podle známých pravidel:

$$\frac{\partial {{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}}{\partial {\mathbf d \mathbf x}}=\left(\frac{\partial {\mathbf v}}{\partial {\mathbf d}{{\mathbf x}}^T}\right)\cdot 2\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}={{\mathbf A}}^T\cdot 2\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}={\mathbf 0}.$$

Po dosazení za ${\mathbf v}$ a krácení dvěma:

$${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot \left({\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf l}'\right)={\mathbf 0} ,$$ $${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}{\mathbf +}{{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}'={\mathbf 0} ,$$

dostáváme tzv. normální rovnice. Symetrická matice ${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}$ se často v literatuře označuje ${\mathbf N}$. V upraveném klasickém zápisu má tvar:

$${\mathbf N}=\left( \begin{array}{cccc} \left[pa_1a_1\right] & \left[pa_1a_2\right] & \cdots & \left[pa_1a_k\right] \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \left[pa_1a_k\right] & \left[pa_2a_k\right] & \cdots & \left[pa_ka_k\right] \end{array} \right) .$$

Řešení normálních rovnic zapíšeme ve tvaru:

$${\mathbf d \mathbf x}=-{{\mathbf N}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}'.$$

Z vyrovnaných přírůstků určíme hledané neznámé:

$${\mathbf x}{\mathbf =}{{\mathbf x}}_{{\mathbf 0}}+{\mathbf d \mathbf x}.$$

Dále vypočteme opravy:

$${\mathbf v}={\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf l}'$$

a z nich hodnoty vyrovnaných veličin:

$$\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}+{\mathbf v}.$$

Metody řešení normálních rovnic rozebereme v samostatném článku.

Některé kontroly jsou nutné i při počítačovém zpracování. V opačném případě je kontrol daleko více a je dobré je používat. Nejnebezpečnější jsou chyby v sestavení výchozích vztahů, což nám nekontroluje nic, a chyby, kterých se dopustíme při linearizaci. Na ty se zcela přijde až při závěrečné kontrole. Pro okamžitou kontrolu je vhodný tento postup:

Zvolíme nové přibližné hodnoty neznámých, zvětšené oproti prvé volbě vždy o jedničku v rozměru zavedeném pro řešené přírůstky:

$${\overline{{\mathbf x}}}_0={{\mathbf x}}_0+{\mathbf e},$$

kde ${\mathbf e}$ je vektor jedniček. Sestavíme a postupně upravíme výraz:

$${\rm -}{{\mathbf s}}^{II}{\rm =}\overline{{\mathbf l}}\left({\overline{{\mathbf x}}}^T_0\right){\rm -}{\mathbf l}{\rm =}\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T_0{\rm +}{{\mathbf e}}^T\right){\rm -}{\mathbf l}{\mathbf =}\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T_0\right){\mathbf +}{\mathbf A}\cdot {\mathbf e}{\mathbf +}{\rm č}l{\rm .2.ř}{\mathbf -}{\mathbf l}{\mathbf =}{\mathbf A}\cdot {\mathbf e}{\mathbf +}{{\mathbf l}}^{{\mathbf '}}{\mathbf =-}{{\mathbf s}}^I .$$

Kontrola spočívá v porovnání dvou kontrolních symbolů ${\mathbf s}$. V klasickém zápise:

$$s^I_i=-\left(a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}+\cdots +l_i'\right),$$

$$s^{II}_i=-l_i\left({\overline{x}}_{01},\ {\overline{x}}_{02},\cdots ,{\overline{x}}_{0k}\right)+l_i.$$

Kontrola kontroluje sestavení matice ${\mathbf A}$ a vektoru ${\mathbf l}'$.

Po sestavení normálních rovnic a jejich řešení je vhodné provést kontroly dříve nazývané sigmovými zkouškami:

$${{\mathbf l}}'^{T}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{{\mathbf l}}'^{T}\cdot {\mathbf P}\cdot {{\mathbf l}}'={{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}$$

a kontrola

$${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}{\mathbf =}{\mathbf 0}.$$

Klasicky:

$$\left[pa_1l'\right]\cdot dx_1+\left[pa_2l'\right]\cdot dx_2+\dots +\left[pl'l'\right]=\left[pvv\right].$$

Rovnost $\left[pl'l'.k\right]=\left[pvv\right]$ (kde první symbol znamená po tzv. $k$-té redukci) uplatníme hlavně pro pozdější odvození $m_0$ z oprav.

Tyto vztahy kontrolují výpočet koeficientů normálních rovnic, výpočet neznámých ${\mathbf d \mathbf x}$, výpočet oprav a ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}$.

Nejdůležitější je závěrečná kontrola. Je jí dvojí výpočet oprav ze vzorců:

$${{\mathbf v}}^I={\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf l}',$$

$${{\mathbf v}}^{II}={\overline{{\mathbf l}}{\mathbf (}{\mathbf x}}^T)-{\mathbf l}.$$

Nesouhlas ${{\mathbf v}}^I\ne {{\mathbf v}}^{II}$ při splnění ostatních kontrol, ukazuje na chybu v linearizaci nebo chybné připojení přírůstků ${\mathbf x}={{\mathbf x}}_0+{\mathbf d \mathbf x}$.

Pro hodnocení důvěryhodnosti vyrovnaných hodnot používáme tyto střední chyby:

1. střední chybu jednotkovou ${\overline{m}}_0$ (základ pro výpočet ostatních středních chyb),
2. střední chybu vyrovnané neznámé ${\overline{m}}_x$,
3. střední chybu funkce vyrovnaných neznámých ${\overline{m}}_f$,
4. střední chybu vyrovnaného měření ${\overline{m}}_{\overline{l}}$.

Střední chyba jednotková se používá pro výpočet všech středních chyb podle univerzálního vzorce:

$$\overline{m}={\overline{m}}_0\cdot \sqrt{Q}.$$

Jednotlivá měření $l_i$ mohou vstupovat do vyrovnání se známými středními chybami ${\overline{m}}_i$ nebo jejich odhady $m_i$, vypočítanými např. z rozporů mezi opakovanými měřeními téže veličiny $l_i$. Známe-li hodnoty ${\overline{m}}_i$, známe předem i jednotkovou střední chybu

$${\overline{m}}_0={\overline{m}}_i\cdot \sqrt{p_i}.$$

Nezávisle na těchto číselných hodnotách můžeme znovu odhadnout číselné hodnoty střední chyby jednotkové $m_0$ i středních chyb $m_i$ jednotlivých měření $l_i$ z provedeného vyrovnání, tj. z oprav $v_i$, neboli z rozporů mezi naměřenými a vyrovnanými hodnotami souboru všech měření $l_1,\ l_2,\ \dots ,\ l_n$. Jednotlivé číselné hodnoty jsou náhodným výběrem ze základních souborů všech možných hodnot každého jednotlivého měření. Při opakování měření dostáváme opět jiný výběr číselných hodnot $l_1,\ l_2,\ \dots ,\ l_n$. Proto hodnoty $m_0$, $m_i$ vyčíslené z oprav $v_i$ budou náhodné veličiny a pouze odhady skutečných středních chyb ${\overline{m}}_0$, ${\overline{m}}_i$ (parametrů rozdělení). Proto můžeme $m_0$ označit také jako „výběrovou“ jednotkovou střední chybu. Výpočetní vzorce jsme definovali:

$${\overline{m}}^2_0=E\left(p\cdot {\varepsilon }^2\right), m^2_0=\frac{\left[p\varepsilon \varepsilon \right]}{n} , {\overline{m}}^2_0=p_i\cdot {\overline{m}}^2_i.$$

Skutečné chyby $\varepsilon$ však zůstávají neznámé a musíme je proto nahradit opravami $v$. Stavba rovnic oprav

$${\mathbf v}={\mathbf A}\cdot {\mathbf d}{\mathbf x}+{\mathbf l}'$$

platí i pro skutečné chyby (podle zákona hromadění):

$${\mathbf \varepsilon }={\mathbf A}\cdot {\mathbf d}\overline{{\mathbf x}}+{\mathbf l}'$$

Vytvoříme rozdíl a po úpravě dostaneme rovnici oprav ${\mathbf v}$ novém tvaru:

$${\mathbf v}{\mathbf -}{\mathbf \varepsilon }{\mathbf =}{\mathbf A}\cdot \left({\mathbf d \mathbf x}{\mathbf -}{\mathbf d}\overline{{\mathbf x}}\right){\mathbf =-}{\mathbf A}\cdot {{\mathbf \varepsilon }}_{{\mathbf x}},$$

$${\mathbf v}{\mathbf =-}{\mathbf A}\cdot {{\mathbf \varepsilon }}_{{\mathbf x}}{\mathbf +}{\mathbf \varepsilon }.$$

Splnění podmínky ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}$ pro předchozí vztah by vedlo k normálním rovnicím pro neznámé ${{\mathbf \varepsilon }}_{{\mathbf x}}$, ale také ke vztahu:

$${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}{\mathbf =}\left({{\mathbf \varepsilon }}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf \varepsilon }.k\right),$$

kde $k$ značí Gaussův symbol $k$-té redukce při výpočtu Gaussovou eliminací. Platí též:

$$\left[pvv\right]=\left[p\varepsilon \varepsilon \right]-\frac{{\left[pa_1\varepsilon \right]}^2}{\left[pa_1a_1\right]}-\frac{{\left[pa_2\varepsilon .1\right]}^2}{\left[pa_1a_1.1\right]}-\dots .$$

Vždy platí $\left[pvv\right]<\left[p\varepsilon \varepsilon \right]$. Ve vztahu zavedeme střední hodnoty a podle definic i střední chyby. Vztah budeme upravovat v klasickém zápisu. Po kratších úpravách obdržíme:

$$E\left[pvv\right]=n\cdot {\overline{m}}^2_0-{\overline{m}}^2_0-\dots =\left(n-k\right)\cdot {\overline{m}}^2_0,$$

přičemž se tolikrát odečte ${\overline{m}}^2_0$, kolik je normálních rovnic (neznámých). Podle tohoto vztahu odvodíme rovnici pro odhad jednotkové střední chyby $m_0$ z daného výběru $n$ oprav

$$m_0=\sqrt{\frac{{{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}}{n-k}}=\sqrt{\frac{\left[pvv\right]}{n-k}},$$

kde $n-k$ je počet nadbytečných měření. $m_0$ je aposteriorní odhad jednotkové střední chyby (měření o váze $p_0=1$), neboli empirická jednotková střední chyba plynoucí z vyrovnání (z oprav) zprostředkujících měření. Hodnota $m_0$ je náhodná a závislá na náhodném střetnutí hodnot skutečných chyb ${\varepsilon }_1,\ \dots ,\ {\varepsilon }_n$.

Kromě výpočtu $m_0$, které můžeme též považovat za „průměrnou” přesnost vstupujících měření (vztaženo k váze 1):

$$m^2_0=\frac{\left[p\cdot m^2_l\right]}{n} ,$$

můžeme odhadnout i „průměrnou“ přesnost vystupujících vyrovnaných měření:

$$M^2_0=\frac{\left[p\cdot m^2_{\overline{l}}\right]}{n}=m^2_0\cdot \frac{k}{n} ,$$

$M_0$ charakterizuje soubor zbylých chyb ${\varepsilon }'=\varepsilon -v$ ve vyrovnaných veličinách $l+v$, koeficient $\sqrt{{k}/{n}}$ znamená průměrné zmenšení původních standardů (průměrné zvýšení přesnosti) vyrovnáním souboru měření.

Operacemi ${\mathbf x}{\mathbf =}{{\mathbf N}}^{{\mathbf -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}$ vyjádříme libovolnou vyrovnanou neznámou jako lineární funkci všech zprostředkujících měření. Analogicky operacemi ${{\mathbf \varepsilon }{\mathbf '}}_x{\mathbf =}{{\mathbf N}}^{{\mathbf -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf \varepsilon }$ vyjádříme zbylou chybu ${\varepsilon {\mathbf '}}_{x_i}$ ve vyrovnané neznámé $x_i$ jako lineární funkci původních skutečných chyb ${\varepsilon }_j$ ve všech měřených veličinách $l_j$ ($j=1,2,\ ...,n$). Konečný tvar lze zapsat: $${{\mathbf \varepsilon }}'_{{\mathbf x}}={\mathbf \alpha }\cdot {\mathbf \varepsilon }.$$

Koeficient ${\alpha }_{ij}$ udává, jakým podílem své skutečné hodnoty se původní chyba ${\varepsilon }_j$ podílí na vytvoření číselné hodnoty zbylé chyby ${\varepsilon '}_{x_i}$. Matice ${\mathbf \alpha }$ koeficientů ${\alpha }_{ij}$ takto dává informaci o zákonech přenášení původních chyb, např. ve vyrovnané síti (i o stochastických vztazích mezi vyrovnanými veličinami) a slouží jako „modelová” matice pro zkoumání efektivnosti měření.

Počítají se ze vzorce:

$${\overline{m}}_x={\overline{m}}_0\cdot \sqrt{Q_{x_ix_i}},$$

Kde $Q_{x_ix_i}$ jsou diagonální prvky matice ${\mathbf Q}$. Výpočet této matice se odvodí podle zákona hromadění vah:

$${{\mathbf Q}}_f={\mathbf H}\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {{\mathbf H}}^T$$

aplikací na vztah

$${\mathbf f}\equiv {\mathbf x}{\rm =}{{\mathbf N}}^{{\rm -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}.$$

Zde jsou jednotlivé neznámé vyjádřeny jako funkce původních nezávislých měření ${\mathbf l}$ a můžeme proto opět použít zákon hromadění vah. Dosadíme ${\mathbf H}{\rm =}{{\mathbf N}}^{{\rm -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}$ a použijeme platné vztahy: ${\mathbf P}\cdot {{\mathbf P}}^{-1}={\mathbf E}$, ${\left({{\mathbf N}}^{-1}\right)}^T={{\mathbf N}}^{-1}$, ${{\mathbf P}}^T={\mathbf P}$, ${{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}{\rm =}{\mathbf N}$, ${\mathbf N}\cdot {{\mathbf N}}^{-1}={\mathbf E}$. Obdržíme:

$${{\mathbf Q}}_x={{\mathbf N}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\left({{\mathbf N}}^{{\rm -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\right)}^T={{\mathbf N}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}\cdot {{\mathbf N}}^{-1},$$

$${{\mathbf Q}}_x={{\mathbf N}}^{-1}\cdot {\mathbf N}\cdot {{\mathbf N}}^{-1}{\mathbf =}{{\mathbf N}}^{-1}.$$

Potřebné elementy ${{\mathbf Q}}_{x_ix_i}$ získáme tedy z inverzní matice soustavy normálních rovnic.

« 14. Vyrovnání přímých měření
» 16. Vyrovnání podmínkových měření