V geodetické praxi se často měří veličiny, pro které platí přesné matematické vztahy. Např. skutečné hodnoty úhlů v rovinném trojúhelníku vždy splňují podmínku uzávěru $\alpha +\beta +\gamma -180{}^\circ =0$, mezi délkami a úhly platí sinová věta např. $a\cdot {\sin \left(\beta \right)\ }-b\cdot {\sin \left(\alpha \right)\ }=0$, součet převýšení po obvodě uzavřeného polygonu $\Sigma \Delta H=0$, atd.

Měříme-li tyto veličiny v nadbytečném počtu (třetí úhel nebo další stranu v trojúhelníku apod.), pak vlivem měřických chyb nesplní naměřené hodnoty přesně dané podmínky. Abychom nalezené nesouhlasy odstranili, musíme k nim připojit opravy, tj. provedeme jejich vyrovnání. Předpokladem vyrovnání je měření aspoň jedné nadbytečné veličiny. Kdybychom vyrovnání neprovedli, dostávali bychom v geodetické síti různou výpočetní cestou různé číselné hodnoty pro délku téže strany, pro souřadnice nebo výšku téhož bodu apod.

Je dáno $n$ měření $l_1,...,l_n$ s vahami $p_1,...,p_n$. Skutečné hodnoty ${\mathbf L}$ měřených veličin splňují přesně $r$ vztahů ($r$ je počet nadbytečných měření), tzv. podmínkových rovnic

$${\mathbf \varphi }{\mathbf (}{{\mathbf L}}^T)={\mathbf 0}.$$

Splnění totožných vztahů budeme žádat i pro vyrovnané veličiny:

$${\mathbf \varphi }{\rm (}{\overline{{\mathbf l}}}^T{\rm )=}{\mathbf 0}. $$

Naměřené veličiny ${\mathbf l}$ tyto vztahy vlivem měřických chyb nesplní

$${\mathbf \varphi }{\rm (}{{\mathbf l}}^T{\rm )=}{\mathbf u}\ne {\mathbf 0}.$$

Vypočtené odchylky $u$ nazveme uzávěry.

Naším úkolem je připojením oprav $k$ naměřeným hodnotám uzávěry anulovat. Takovýchto řešení by bylo nekonečně mnoho, protože počet hledaných oprav (tj. počet provedených měření $n$) je větší než počet vztahů $n>r$. Aby řešení bylo jednoznačné, přidáme další podmínku. V našem případě je to podmínka MNČ ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}\ =\ min.$

Pro jednoduchost řešení předpokládáme podmínkové rovnice vzájemně nezávislé s minimálním počtem proměnných. Počet podmínek musí odpovídat nadbytečnému počtu měření. Je třeba uvážit, že vyrovnání splní i nesmyslné podmínky a naopak neformulované podmínky nebudou splněny.

Původní podmínkové rovnice tvaru mohou být lineární i nelineární. Pro další výpočty musí být vždy linearizovány. Po dosazení $\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}+{\mathbf v}$ provedeme rozvoj v Taylorovu řadu s uvážením pouze členů 1. řádu. To předpokládá opravy řádově malé, což je většinou splněno.

$$\varphi \left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)=\varphi \left({{\mathbf l}}^T+{\mathbf v}\right)=\varphi \left({{\mathbf l}}^T\right)+{\left.\frac{\partial\varphi \left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\overline{{\mathbf l}}}^T}\right|}_{\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}}\cdot {\mathbf v}.$$

Dále zavedeme označení: $\varphi{\rm (}{{\mathbf l}}^T{\rm )=}{\mathbf u}$ a

$${\left.\frac{\partial\varphi \left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\overline{{\mathbf l}}}^T}\right|}_{\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}}={\left.\left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial {\varphi }_1\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\overline{l}}_1} & \frac{\partial {\varphi }_1\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\overline{l}}_2} & \dots & \frac{\partial {\varphi }_1\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\overline{l}}_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial {\varphi }_r\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\overline{l}}_1} & \frac{\partial {\varphi }_r\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\overline{l}}_2} & \dots & \frac{\partial {\varphi }_r\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\overline{l}}_n} \end{array} \right)\right|}_{\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}}, $$

$${\left.\frac{\partial\varphi \left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\overline{{\mathbf l}}}^T}\right|}_{\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}}=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{r1} & a_{r2} & \dots & a_{rn} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cccc} {{\mathbf a}}_1 & {{\mathbf a}}_2 & \dots & {{\mathbf a}}_n \end{array} \right)={{\mathbf A}}^T$$

a můžeme zapsat tzv. přetvořené podmínkové rovnice:

$${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf v}+{\mathbf u}\ =\ {\mathbf 0}. $$

Kdybychom zcela obdobně rozvedli v řadu podmínkovou rovnici, osvětlí se tím vznik uzávěrů:

$$\varphi \left({{\mathbf L}}^T\right){\rm =}\varphi \left({{\mathbf l}}^T{\rm +}{{\mathbf \varepsilon }}^T\right){\rm =}\varphi \left({{\mathbf l}}^T\right){\rm +}{{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf \varepsilon }{\mathbf =}{\mathbf u}{\mathbf +}{{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf \varepsilon }{\mathbf =}{\mathbf 0}{\mathbf \ }\Rightarrow {\mathbf \ }{\mathbf u}{\mathbf =-}{{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf \varepsilon }.$$

Porovnání předchozích dvou vzorců ukazuje stejnou stavbu vztahů, ale přitom $v\ne \varepsilon $!

Další postup řešení může být dvojí:

1. přechod na vyrovnání měření zprostředkujících,
2. řešení pomocí tzv. korelát.

Přechod na vyrovnání zprostředkujících měření je vždy možný, ale ne vždy v praxi výhodný. Proto se s ním zde nebudeme zabývat.

Tento postup se používá nejčastěji pomocí tzv. Lagrangeových koeficientů, které mají název koreláty (Gauss). Mějme přetvořené podmínkové rovnice:

$$\left[a_1\cdot {\mathbf v}\right]+\ U_1=0,$$

$$[a_2\cdot {\mathbf v}]\ +U_2=0, $$

$$[a_3\cdot {\mathbf v}]\ +U_3=0,$$

v maticovém zápisu ${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf v}{\mathbf +}{\mathbf u}{\mathbf =}{\mathbf 0}$ pro $n$ měřených hodnot ${\mathbf l}$ s váhami $p_1,\ p_2,...,\ p_n$. Opravy jsou vázány uvedenými podmínkami, přičemž současně klademe hlavní podmínku ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}=min.$ V tomto případě použijeme Lagrangeova postupu, kdy vynásobíme vedlejší podmínky dvojnásobky zatím neurčených koeficientů (korelát) $-2k_i$, přičteme je k funkci ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}$ a budeme hledat minimum pro celý součet

$$\overline{\Omega }={{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}{\mathbf -}{\mathbf 2}\cdot {{\mathbf k}}^T\cdot \left({{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf v}{\mathbf +}{\mathbf u}\right){\mathbf =}min.$$

Derivujeme a pro určení minima položíme rovno nule:

$$\frac{\partial \overline{\Omega }}{\partial {\mathbf v}}=2\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}{\mathbf -}{\mathbf 2}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf k}{\mathbf =}{\mathbf 0}$$

a odtud získáme tzv. rovnice oprav

$${\mathbf v}{\mathbf \ =}{{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf k}. $$

Dosadíme-li předchozí vzorec do přetvořených podmínkových rovnic, dostaneme normální rovnice pro výpočet pomocných neznámých ${\mathbf k}$:

$${{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf k}{\mathbf +}{\mathbf u}{\mathbf =}{\mathbf 0}.$$

Zde můžeme označit ${{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf P}}^{{\mathbf -}1}\cdot {\mathbf A}=\overline{{\mathbf N}}$, což v klasickém zápise značí:

$$\overline{{\mathbf N}}=\left( \begin{array}{cccc} \left[qa_1a_1\right] & \left[qa_1a_2\right] & \dots & \left[qa_1a_r\right] \\ \left[qa_2a_1\right] & \left[qa_2a_2\right] & \dots & \left[qa_2a_r\right] \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \left[qa_ra_1\right] & \left[qa_ra_2\right] & \dots & \left[qa_ra_r\right] \end{array} \right),$$

když prvky na diagonále matice ${{\mathbf P}}^{-1}$ označíme $p^{-1}_i=q_i$. Matice $\overline{{\mathbf N}}$ je opět symetrická. Počet normálních rovnic je shodný s počtem podmínek. Řešení můžeme zapsat ve tvaru:

$${\mathbf k}=-{\overline{{\mathbf N}}}^{{\mathbf -}{\mathbf 1}}\cdot {\mathbf u}. $$

Pomocí korelát vyčíslíme hodnoty jednotlivých oprav, které jsou vlastním cílem vyrovnání. Z nich pak vypočteme vyrovnané veličiny $\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}{\mathbf +}{\mathbf v}$, které (při správném výpočtu) splňují předem stanovené podmínky.

V plném rozsahu jsou matice ${\mathbf A}$ a vektor ${\mathbf u}$ kontrolovány až závěrečnou kontrolou dosazením vyrovnaných hodnot do původních podmínek. Proto vítanou kontrolou je dále odvozený vztah, který můžeme vyčíslit okamžitě po linearizaci. Zavedeme fingovaná měření $\dot{{\mathbf l}}={\mathbf l}+{\mathbf e}\cdot 1$, (kde jednička má rozměr počítaného ${\mathbf v}$) a upravíme Taylorovým rozvojem výraz:

$$\dot{{\mathbf u}}={\mathbf \varphi }\left({\dot{{\mathbf l}}}^T\right)={\mathbf \varphi }\left({{\mathbf l}}^T\right)+{\left.\frac{\partial\varphi \left({\dot{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial {\dot{{\mathbf l}}}^T}\right|}_{\dot{{\mathbf l}}={\mathbf l}}\cdot {\mathbf e}={\mathbf u}+{{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf e}. $$

(V klasickém zápise 1. rovnice: ${\varphi }_a\left({\dot{l}}_1,\ \dots ,\ {\dot{l}}_n\right)=U_a+\left[a\right]$. Tedy:

$$\dot{{\mathbf u}}-{\mathbf u}={{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf e}, \left({\dot{U}}_j-U_j=\left[j\right]\right) . $$

Další výpočet provádí zpravidla počítačový program automaticky, nicméně naprogramování kontroly není na škodu. Opravy se překontrolují dosazením do přetvořených podmínkových rovnic, což je současně kontrola výpočtu korelát, dále ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}{\mathbf =-}{{\mathbf u}}^T\cdot {\mathbf k}$ kontroluje výpočet korelát a výpočet oprav, $[pvv]$ a sestavení koeficientů normálních rovnic. Nekontroluje výpočet uzávěrů a koeficientů přetvořených podmínkových rovnic.

Vyrovnané veličiny $\overline{{\mathbf l}}$ dosadíme do původních podmínek $\varphi \left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)={\mathbf 0}$. Splnění těchto rovnic (až na chyby ze zaokrouhlení) a současné splnění rovnice ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}{\mathbf =-}{{\mathbf u}}^T\cdot {\mathbf k}$ je kontrolou správnosti celého výpočtu. (Nekontroluje chybně sestavené podmínky!)

Případný nesouhlas splnění podmínkových rovnic může být též způsoben zanedbáním nezanedbatelných členů vyššího řádu v Taylorově rozvoji.

K testování vyrovnaných hodnot stačí vypočítat tyto střední chyby (nebo odhady):

1. střední chybu jednotkovou $m_0$,
2. střední chybu vyrovnaných veličin, jako speciální případ střední chyby funkce vyrovnaných veličin.

Pro výpočet odhadu střední chyby jednotkové platí vzorec:

$$m_0=\sqrt{\frac{{{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}}{r}}. $$

Právě tak platí pro aposteriorní odhad střední chyby jednotlivých provedených měření:

$$m_i=m_0\cdot \sqrt{q_i} , q_i=1/p_i. $$

Pro odhad střední jednotkové chyby vyrovnaných měření $M_0$ platí:

$$M_0=m_0\cdot \sqrt{\frac{n-r}{n}}<m_0. $$

Tyto střední chyby se počítají z univerzálního vztahu

$${\overline{m}}_f={\overline{m}}_0\cdot \sqrt{Q_{ff}}. $$

Odvodíme vztah pro výpočet $Q_{ff}$. Mějme libovolnou funkci vyrovnaných veličin

$$f=f\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)=f\left({{\mathbf l}}^T+{{\mathbf v}}^T\right). $$

Pro odvozování je výhodné rozložit vektor měření ${\mathbf l}{\mathbf =}{{\mathbf l}}_0{\mathbf +}{\mathbf l}{\mathbf '}$ a protože platí ${\mathbf l}{\mathbf '}\ll {\mathbf \ }{\mathbf l}$, platí pro uzávěr:

$${\mathbf u}={\mathbf \varphi }\left({{\mathbf l}}^T\right)={\mathbf \varphi }\left({{\mathbf l}}^T_0+{{\mathbf l}}'^{T}\right)=\varphi \left({{\mathbf l}}^T_0\right)+{{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf l}'.$$

Vztah pro funkci vyrovnaných veličin můžeme rozvést v Taylorovu řadu s omezením na členy prvého řádu:

$$f\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)=f\left({{\mathbf l}}^T_0+{{\mathbf l}}'^{T}+{{\mathbf v}}^T\right)=f\left({{\mathbf l}}^T_0\right)+{{\mathbf f}}^T_l\left({{\mathbf l}}'+{\mathbf v}\right), $$

kde jsme označili

$${{\mathbf f}}^T_l{\rm =}{\left.\frac{\partial f\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)}{\partial \overline{{\mathbf l}}}\right|}_{\overline{l}{\rm =}l_0}. $$

Do této rovnice dosadíme postupně za ${\mathbf v}$ a dále za ${\mathbf k}$ a za ${\mathbf u}$. Členy nezávislé na provedeném měření spojíme a označíme $F_{00}$:

$$f\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)=f\left({{\mathbf l}}^T_0\right)+{{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf l}}'-{{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\overline{{\mathbf N}}}^{-1}\cdot \left({\mathbf \varphi }\left({{\mathbf l}}^T_0\right)+{{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf l}}'\right) ,$$

$$f\left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)=F_{00}+\left({{\mathbf f}}^T_l-{{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\overline{{\mathbf N}}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\right)\cdot {{\mathbf l}}' . $$

Na tento vztah aplikujeme zákon hromadění vah při zavedeném označení

$${\mathbf H}={{\mathbf f}}^T_l-{{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\overline{{\mathbf N}}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T.$$

Po úpravě, a protože se poslední dva členy po úpravě anulují, dostaneme:

$$Q_{ff}={{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {{\mathbf f}}_l-{{\mathbf f}}^T_l\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\overline{{\mathbf N}}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {{\mathbf f}}_l. $$

• Poznámka: Řešíme-li soustavu funkcí, použijeme pro výpočet středních chyb diagonální elementy z matice ${{\mathbf Q}}_f$ vypočtené ze vzorce:

$${{\mathbf Q}}_f={{\mathbf F}}_l\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {{\mathbf F}}^T_l-{{\mathbf F}}_l\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\overline{{\mathbf N}}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {{\mathbf F}}^T_l, $$

kde

$${{\mathbf F}}_l=\left( \begin{array}{c} {{\mathbf f}}^T_{1,1} \\ \vdots \\ {{\mathbf f}}^T_{m,1} \end{array} \right). $$

Pro všechna vyrovnaná měření pak platí:

$${{\mathbf Q}}_{\overline{l}}={{\mathbf P}}^{-1}-{{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\overline{{\mathbf N}}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf P}}^{-1},$$

s kontrolou $\left[p\cdot Q_{\overline{l}\overline{l}}\right]=n-r$.

« 15. Vyrovnání zprostředkujících měření
» 17. Kombinované vyrovnání