Budeme řešit případy, kdy u vyrovnání měření zprostředkujících jsou neznámé veličiny spolu vázány dalšími podmínkami. Potom platí tyto vztahy:

$$\overline{{\mathbf l}}=\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T\right) , {\mathbf \varphi }\left({{\mathbf x}}^T\right)={\mathbf 0} . $$

Po linearizaci:

$${\mathbf v}={\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf l}', {{\mathbf B}}^T\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf b}={\mathbf 0}, {\mathbf b}={\mathbf \varphi }({{\mathbf x}}^T_0). $$

Při $n$ měření, $k$ neznámých a $r$ podmínkách dostáváme soubor $(n+r)$ rovnic. Přitom musí platit $n>k>r$.

Je několik způsobů řešení úlohy. Zde uvedeme jen přímé řešení. Podmínku MNČ s vedlejšími podmínkami budeme řešit již známým Lagrangeovým postupem.

$$\overline{\Omega }={{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}+2\cdot {{\mathbf k}}^T\cdot \left({{\mathbf B}}^T\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf b}\right)=min.$$

$$\frac{\partial \overline{\Omega }}{\partial {\mathbf d \mathbf x}}={\left(\frac{\partial {\mathbf v}}{\partial {\mathbf d}{{\mathbf x}}^T}\right)}^T\cdot 2\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}+2\cdot {\mathbf B}\cdot {\mathbf k}={\mathbf 0}, \frac{\partial \overline{\Omega }}{\partial k}={{\mathbf B}}^T\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf b}={\mathbf 0}, $$

$${{\mathbf A}}^T\cdot {\rm 2}\cdot {\mathbf P}\cdot \left({\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}{\rm +}{{\mathbf l}}^{{\rm '}}\right){\rm +2}\cdot {\mathbf B}\cdot {\mathbf k}{\rm =}{\mathbf 0}, $$

$${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}{\mathbf +}{\mathbf B}\cdot {\mathbf k}{\mathbf +}{{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {{\mathbf l}}^{{\rm '}}{\rm =}{\mathbf 0}. $$

Dostáváme systém normálních rovnic:

$$ \begin{array}{cccc} {{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}{\mathbf \ } & {\mathbf +}{\mathbf B}\cdot {\mathbf k} & {\mathbf +}{{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}{\mathbf '} & {\mathbf =}{\mathbf 0} \\ {{\mathbf B}}^T\cdot {\mathbf d \mathbf x} & & +{\mathbf b} & ={\mathbf 0} \end{array},$$

který můžeme též zapsat:

$$\left( \begin{array}{cc} {{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A} & {\mathbf B} \\ {{\mathbf B}}^T & {\mathbf 0} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} {\mathbf d \mathbf x} \\ {\mathbf k} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} {{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}{\mathbf '} \\ {\mathbf b} \end{array} \right)={\mathbf 0} .$$

Další výpočet je již běžný.

Případy vyrovnání měření zprostředkujících se současnými vedlejšími podmínkami se např. aplikuje při vyrovnání volných trigonometrických sítí k doplnění vazby na pevné body.

Tento obecný typ vyrovnání nastává, když v podmínkových rovnicích vystupují kromě vyrovnaných měření ještě další, přímo neměřené neznámé, které též chceme určit. Tyto neznámé ovlivňují:

• a) každé měření,
• b) vstupují do podmínek individuálně.

• Ad a) V tomto případě, aby měření nebyla korelována, musíme je o vliv těchto neznámých faktorů zkorigovat. Konkrétně např. ${{\mathbf l}}_K={\mathbf l}{\mathbf +}{\mathbf f}{\mathbf (}{{\mathbf x}}^T{\mathbf )}$, kde ${\mathbf l}$ jsou provedená měření a ${{\mathbf l}}_K$ měření opravená o vliv faktorů ${\mathbf x}$ (funkce působení musí být samozřejmě známa). Podmínkové rovnice pak mají tvar:

$$\varphi \left({\overline{{\mathbf l}}}^T\right)={\mathbf 0},$$

kde $\overline{{\mathbf l}}{\mathbf =}{{\mathbf l}}_{{\mathbf K}}{\mathbf +}{\mathbf v}$, ${{\mathbf l}}_{{\mathbf K}}{\mathbf =}{\mathbf l}{\mathbf +}{\mathbf f}\left({{\mathbf x}}^T\right)$.

Příkladem tohoto působení může být neznámá součtová konstanta dálkoměru, koeficient tepelné roztažnosti měřických pásem, refrakční koeficient apod.

• Ad b) V druhém případě má podmínková rovnice tvar

$$\varphi \left({\overline{{\mathbf l}}}^T,{{\mathbf x}}^T\right)={\mathbf 0}, $$

kde ${{\mathbf x}}^T=(x_1,\ x_2,\ ...)$ jsou nově určované neměřené veličiny. Pro počty jednotlivých druhů veličin musí platit: $n>r>k$, $n>r+k$. Přetvořené podmínkové rovnice v obou případech mají tvar:

$$\left[a_r\cdot v\right]+A_r\cdot dx_1+B_r\cdot dx_2+\dots +U_r=0 , a_{r,i}={\left.\frac{\partial {\varphi }_r}{\partial {\overline{{\mathbf l}}}_i}\right|}_{\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}+{{\mathbf f}}_0}, $$

$$A_r=\frac{\partial {\varphi }_r}{\partial x_1}\left(=\left[a_r\cdot \alpha \right],{\alpha }_i={\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_1}\right|}_{x=x_0}\right) , B_r=\frac{\partial {\varphi }_r}{\partial x_2}\left(=\left[a_r\cdot \beta \right],{\beta }_i={\left.\frac{\partial f_i}{\partial x_2}\right|}_{x=x_0}\right) , $$

$$U_r={\varphi }_r(l_1,l_2,\ ...,l_n,x_{1,0},x_{2,0},...),$$

vše pro $r$ podmínek a $i=1,2,\dots ,n$. Vztahy v závorkách platí jen pro případ a). V maticovém zápise:

$${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf v}{\mathbf +}{\mathbf B}\cdot {\mathbf d \mathbf x}{\mathbf +}{\mathbf u}{\mathbf =\ }{\mathbf 0} ,$$

kde

$${\mathbf A}{\rm =}\left( \begin{array}{ccc} a_{{\rm 11}} & {\rm \dots } & a_{r{\rm 1}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{{\rm 1}n} & {\rm \dots } & a_{rn} \end{array} \right) , {\mathbf B}=\left( \begin{array}{cccc} A_1 & B_1 & \dots & K_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_r & B_r & \dots & K_r \end{array} \right), {\mathbf d \mathbf x}=\left( \begin{array}{c} dx_1 \\ \vdots \\ dx_k \end{array} \right) , {\mathbf u}=\left( \begin{array}{c} U_1 \\ \vdots \\ U_r \end{array} \right). $$

Dalších řešení může být opět několik. Zde uvedeme jen přímé řešení. Použijeme Lagrangeova postupu hledání minima.

$$\overline{\Omega }={{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}-2\cdot {{\mathbf k}}^T\cdot \left({{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf v}+{\mathbf B}\cdot {\mathbf d \mathbf x}{\mathbf +}{\mathbf u}\right)=min., $$

$$\frac{\partial \overline{\Omega }}{\partial {\mathbf v}}=2\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}-2\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf k}={\mathbf 0}, \frac{\partial \overline{\Omega }}{\partial {\mathbf d \mathbf x}}=-2\cdot {{\mathbf B}}^T\cdot {\mathbf k}={\mathbf 0}\Rightarrow {{\mathbf B}}^T\cdot {\mathbf k}={\mathbf 0} , $$

$${\mathbf v}={{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf k}. $$

Po vzájemném dosazení a úpravách obdržíme:

$${{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf k}{\mathbf \ +\ }{\mathbf B}\cdot {\mathbf d \mathbf x}{\mathbf \ +\ }{\mathbf u}{\mathbf \ =\ }{\mathbf 0},$$

$${{\mathbf B}}^T\cdot {\mathbf k}{\rm =}{\mathbf 0}. $$

Tento systém normálních rovnic můžeme též zapsat:

$$\left( \begin{array}{cc} {{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf P}}^{{\mathbf -}{\mathbf 1}}\cdot {\mathbf A} & {\mathbf B} \\ {{\mathbf B}}^T & {\mathbf 0} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} {\mathbf k} \\ {\mathbf d \mathbf x} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} {\mathbf u} \\ {\mathbf 0} \end{array} \right)={\mathbf 0}. $$

Označení:

$${\widetilde{{\mathbf N}}}^{{\rm -1}}{\mathbf =}{\left( \begin{array}{cc} {{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf P}}^{{\rm -1}}\cdot {\mathbf A} & {\mathbf B} \\ {{\mathbf B}}^T & {\mathbf 0} \end{array} \right)}^{-1}{\rm =}\left( \begin{array}{cc} {{\mathbf Q}}_{kk} & {{\mathbf Q}}^T_{xk} \\ {{\mathbf Q}}_{xk} & {{\mathbf Q}}_{xx} \end{array} \right).$$

Výpočet neznámých:

$${\mathbf d \mathbf x}{\rm =-}{{\mathbf Q}}_{xk}\cdot {\mathbf u}. $$

Výpočet korelát:

$${\mathbf k}{\rm =-}{{\mathbf Q}}_{kk}\cdot {\mathbf u}. $$

Výpočet oprav:

$${\mathbf v}{\rm =}{{\mathbf P}}^{{\rm -1}}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf k}.$$

Po vyřešení vypočteme odhad jednotkové střední chyby

$$m_0=\sqrt{\frac{{{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}}{r-k}}. $$

Vzorce pro výpočet středních chyb neznámých:

$${{\mathbf Q}}_x{\rm =-}{{\mathbf Q}}_{xx} , m_{x_i}=m_0\cdot \sqrt{Q_{x_ix_i}} .$$

Vzorce pro výpočet středních chyb vyrovnaných měření

$${{\mathbf Q}}_{\overline{l}}={{\mathbf P}}^{-1}{\mathbf -}{{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\mathbf A}\cdot {{\mathbf Q}}_{kk}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {{\mathbf P}}^{-1} , m_{{\overline{l}}_i}=m_0\cdot \sqrt{Q_{{\overline{l}}_i{\overline{l}}_i}}.$$

« 16. Vyrovnání podmínkových měření
» 18. Metody robustního odhadu