V geodetické praxi se velmi často opakuje měření určité veličiny a je vhodné kontrolovat, zda výsledky odpovídají předpokládané (očekávané) přesnosti.

Za znalosti základní směrodatné odchylky měření je možno stanovit mezní odchylku rozdílu mezi dvěma měřeními. Směrodatná odchylka rozdílu dvou měření:

$${\sigma }_{\Delta }=\sqrt{{\sigma }^2_1+{\sigma }^2_2}. $$

Mezní odchylka rozdílu dvou měření (mezní rozdíl):

$${\Delta }_M=u_p\cdot \ {\sigma }_{\Delta }. $$

Rozdíl by v ideálním případě byl roven nule. Pokud rozdíl překročí mezní hodnotu, měření nevyhovují přesnosti a je nutno přidat další měření. Pak se přesnost kontroluje podle McKay - Nairova testu (viz dále).

Hodnoty $u_p$ tohoto oboustranného testu jsou $2$ pro $\alpha =0,05$ a $2,5$ pro $\alpha =0,01$, podle tabulek normálního rozdělení. Oboustranný test je to proto, že může rozdíl nabývat jak kladné, tak záporné hodnoty.

V případě, že je měření více než dvě, lze je statisticky kontrolovat výpočtem průměru a následně oprav jednotlivých měření, jejichž velikost se pak testuje.

Se zřetelem k normálnímu rozdělení oprav lze jako velmi orientační test připustit přibližné oboustranné testování oprav tak, že $$v_{max}=t_{\alpha }\cdot\sigma ,$$ kde $t_{\alpha }$ se volí 2 - 3.

Vhodnější než předchozí možnost je test $v_{max}=u_{\alpha ,n}\cdot \overline{m}$. Pokud oprava překročí maximální hodnotu, je vhodné nejméně jedno měření přidat. Pokud po dalším hodnocení není podmínka splněna, jedno měření se vyloučí, pokud maximální oprava opět nevyhoví, opět se jedno měření přidá atd. Kritické hodnoty jsou v Tab. 1.

Tab. 1 Kritické hodnoty $u_{\alpha ,n}$ pro McKay - Nairův test

Testuje se maximální oprava $v_{max}=K_{G\left(\alpha ,n\right)}\cdot m$. Mechanismus testování je stejný jako v předchozím případě, pouze se vždy vypočítá výběrová střední chyba $m$. Kritické hodnoty jsou v Tab. 2, mají speciální rozdělení pravděpodobnosti podle [1], [2] a [3] odvozené za předpokladu přítomnosti jednoho odlehlého měření. Kritické hodnoty se vypočítají podle vzorce:

$$K_{G\left(\alpha ,n\right)}=\frac{n-1}{\sqrt{n}}\cdot \sqrt{\frac{t{\left(\alpha ,n\right)}^2}{n-2+t{\left(\alpha ,n\right)}^2}}\ ,$$

kde $t(\alpha ,n)$ je kritická hodnota hodnota Studentova rozdělení $t(n')$ pro $n-2$ stupně volnosti a hladinu významnosti pro oboustranný test $\alpha /(2\cdot n)$ a pro jednostranný test $\alpha /n$.

Tab. 2 Kritické hodnoty $K_{G\left(\alpha ,n\right)}$ pro Pearson-Sekharův (Grubbsův) oboustranný test

V daném výběrovém souboru o velikosti $n$ vypočítáme výběrový průměr $x$ a střední opravu $m_v=\sqrt{\frac{\left[vv\right]}{n}}$, kde $v_i=x-l_i$, $l_i$ jsou měřené hodnoty. Vyhledáme opravu s maximální absolutní velikostí a mezní oprava se určí:

$$v_{max}=K_1\cdot m_v , $$

která má speciální rozdělení analogické předchozímu odstavci, kritické hodnoty se vypočítají podle vzorce

$$K_{1(\alpha ,n)}=K_{G\left(\alpha ,n\right)}\cdot \sqrt{\frac{n}{n-1}} , $$

kde $K_{G\left(\alpha ,n\right)}$ se určí z výše uvedeného vzorce). Tabulka kritických hodnot $K_{1(\alpha ,n)}$ pro vybraná $n$ a hladiny významnosti $\alpha $ je uvedena dále.

Tab. 3 Kritické hodnoty $K_{1(\alpha ,n)}$ pro oboustranný test

Příliš odlehlým měřením bude to měření, které má největší opravu $\left|v_i\right|$ a pro které bude platit $\left|v_i\right|>v_{max}$; toto měření vyloučíme ze souboru a vypočítáme nový průměr, střední opravu a postup budeme případně opakovat pro další odlehlejší měření.

Výběrovým hodnotám (měřením), které se svou velikostí nápadné odlišují od ostatních a budí podezření, že nepatří do výběru, říkáme odlehlá měření. Testujeme hypotézu, že všechna měření patří do výběru z normálního rozdělení.

Lze posuzovat diferenci krajních hodnot $l_{max}$ a $l_{min}$ v daném výběru. Testovací kritérium:

$$W=\frac{l_{max}-l_{min}}{\sigma }$$

Kritické hodnoty jsou v Tab. 4.

Tab. 4 Kritické hodnoty $W_{\alpha ,n}$ pro testování variačního rozpětí

Výběrové hodnoty seřadíme podle velikosti $l_1\le l_2\le \dots \le l_n$, vypočítáme z maximální hodnoty rozdílu dvou sousedních hodnot na krajích seřazeného výběru testovací kritérium

$K_{{\rm 2}}{\rm =}\frac{l_n{\rm -}l_{n{\rm -1}}}{l_n{\rm -}l_{{\rm 1}}}$ nebo $K_{{\rm 2}}{\rm =}\frac{l_{{\rm 2}}{\rm -}l_{{\rm 1}}}{l_n{\rm -}l_{{\rm 1}}}$

které má speciální rozdělení pravděpodobnosti, které zde nebudeme uvádět a uvedeme pouze výtah z tabulek kritických hodnot $K_{2,\alpha }$ pro různá $n$ a používané hladiny významnosti $\alpha $:

Tab. 5 Kritické hodnoty $K_{(2,\alpha )}$

Příliš odlehlým bude to měření $l_n$($l_1$), pro které bude platit $K_2>K_{2,\alpha }$, toto měření vyloučíme a postup budeme opakovat s případným dalším „podezřelým“ měřením.

« 19. Metody řešení normálních rovnic
» 21. Testování střední chyby (variance)