Vytyčení úsečky je úloha, která se skládá z vytyčení dvou koncových bodů. Obvykle bývá z hlediska přesnosti vytyčení zadána přesností v poloze analogicky vytyčení polohy jednoho bodu, dále pak přesností rozměru (např. mezní odchylkou délky úsečky), přičemž tento parametr přesnosti bývá přísnější.

Rozbory přesnosti před měřením se pak skládají ze dvou samostatných částí, kdy se zpracují požadavky na přesnost v poloze, dále je však také třeba provést rozbor pro požadavek na přesnost rozměru. Pro vytyčení se zvolí přísnější požadavek. Pro každý bod se vykonávají rozbory stejné jako při vytyčení bodu včetně závěrečné kontroly rozborem po měření, dále budou popsány pouze ty, které se týkají rozměru úsečky při vytyčení polární metodou z jednoho stanoviska.

Při vytyčení úsečky polární metodou jsou souřadnice koncových bodů dány:

$$x_1=x_S+d_1\cdot {\cos \left({\sigma }_O+{\varphi }_1\right)\ }\ , y_1=y_S+d_1\cdot {\sin \left({\sigma }_O+{\varphi }_1\right)\ }\ , $$

$$x_2=x_S+d_2\cdot {\cos \left({\sigma }_O+{öö}_2\right)\ }\ , y_2=y_S+d_2\cdot {\sin \left({\sigma }_O+{\varphi }_2\right)\ } , $$

kde ${\varphi }_1={\psi }_1-{\psi }_O$, ${\varphi }_2={\psi }_2-{\psi }_O$, a ${\psi }_O$, ${\psi }_1$, ${\psi }_2$ jsou měřený a vytyčované směry na orientaci a body 1 a 2.

Délka úsečky:

$$l^2={\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2={\triangle x}^2_{12}+{\triangle y}^2_{12} . $$

;#; Obr. 1 Schema vytyčení úsečky ;#;

Po dosazení, roznásobení a úpravě:

$$\triangle x_{12}=d_2\cdot {\cos \left({\sigma }_O+{\varphi }_2\right)\ }-d_1\cdot {\cos \left({\sigma }_O+{\varphi }_1\right)\ } , $$

$$\triangle y_{12}=d_2\cdot {\sin \left({\sigma }_O+{\varphi }_2\right)\ }-d_1\cdot {\sin \left({\sigma }_O+{\varphi }_1\right)\ } , $$

$$l^{{\rm 2}}=d^2_1+d^2_2-2\cdot d_1\cdot d_2\cdot \left({\cos \left({\sigma }_O+{\varphi }_1\right)\ }\cdot {\cos \left({\sigma }_O+{\varphi }_2\right)\ }+{\sin \left({\sigma }_O+{\varphi }_1\right)\ }\cdot {\sin \left({\sigma }_O+{\varphi }_2\right)\ }\right) .$$

Pro libovolné úhly $\alpha $ a $\beta $ platí:

$${\cos \left(\alpha -\beta \right)\ }={\cos \left(\alpha \right)\cdot {\cos \left(\beta \right)\ }+{\rm sin} (\alpha )\cdot {\sin \left(\beta \right)\ }\ } . $$

Po úpravě tedy:

$$l^{{\rm 2}}=d^2_1+d^2_2-2\cdot d_1\cdot d_2\cdot {\cos \left({(\sigma }_O+{\varphi }_2)\ -\left({\sigma }_O+{\varphi }_1\right)\right)\ } , $$

kde

$${(\sigma }_O+{\varphi }_2)\ -\left({\sigma }_O+{\varphi }_1\right)={\varphi }_2-{\varphi }_1=\left({\psi }_2-{\psi }_O\right)-{(\psi }_1-{\psi }_O)={\psi }_2-{\psi }_1=\omega . $$

Pak platí:

$$l^{{\rm 2}}=d^2_1+d^2_2-2\cdot d_1\cdot d_2\cdot {\cos \left(\omega \right)\ } . $$

Toto odvození ukazuje, že délka vytyčené úsečky ve tvaru kosinové věty není závislá na stanovisku a jeho přesnosti, ani na orientaci a její přesnosti, ale pouze na vytyčeném úhlu (rozdílu vytyčených úhlů) a jeho přesnosti a na vytyčených délkách. Vliv centrace přístroje na stanovisku a cíle na orientaci se zde neuplatní, neboť délka je vytyčována z přístroje a tím centrací není narušen ani tvar, ani rozměr vytyčovaného obrazce. Vliv na přesnost vytyčované délky $l$ má realizace, neboť zanáší chyby do vytyčených délek $d_1$, $d_2$ i úhlu $\omega $.

Nepřesnost (chyba souřadnic a centrace) na stanovisku a na orientaci působí stejně na oba vytyčované body a tedy výsledkem těchto chyb je pootočení a posun celého obrazce, nikoli jeho deformace či změna rozměru.

Přesnost vytyčení délky $l$ je dána pouze přesností vytyčených veličin ${\sigma }_{d1}$, ${\sigma }_{d2}$ a ${\sigma }_{\omega }$ a konfigurací, tj. velikostí $d_1$, $d_2$ a $\omega $. Přesnost vytyčených veličin je za předpokladu přesnosti měření délek ${\sigma }_{dm1}$ a ${\sigma }_{dm2}$ a přesnosti měření směrů ${\sigma }_{\psi 1}$ a ${\sigma }_{\psi 2}$ na body dána:

$${\sigma }_{d{\rm 1}}=\sqrt{{\sigma }^2_{dm1}+{\sigma }^2_r} , {\sigma }_{d2}=\sqrt{{\sigma }^2_{dm2}+{\sigma }^2_r}, $$

$${\sigma }_{\omega }= \sqrt{\left\{{\sigma }^2_{\psi 1}+{\left(\frac{{\sigma }_r}{d_1}\cdot \rho \right)}^2\right\}+\left\{{\sigma }^2_{\psi 2}+{\left(\frac{{\sigma }_r}{d_2}\cdot \rho \right)}^2\right\}\ }. $$

Po aplikaci zákona hromadění směrodatných odchylek:

$${\sigma }^2_l={\left(\frac{\partial l}{\partial d_1}\cdot {\sigma }_{d{\rm 1}}\right)}^2+{\left(\frac{\partial l}{\partial d_2}\cdot {\sigma }_{d{\rm 2}}\right)}^2+{\left(\frac{\partial l}{\partial\omega }\cdot \frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2, $$

kde

$$\frac{\partial l}{\partial d_1}=\frac{d_1-d_2\cdot {\cos \left(\omega \right)\ }}{l} , $$

$$\frac{\partial l}{\partial d_2}=\frac{d_2-d_1\cdot {\cos \left(\omega \right)\ }}{l} , $$

$$\frac{\partial l}{\partial\omega }=\frac{d_1\cdot d_2\cdot {\sin \left(\omega \right)\ }}{l} . $$

Po dosazení:

$${\sigma }^2_l={\left(\frac{d_1-d_2\cdot {\cos \left(\omega \right)\ }}{l}\right)}^2\cdot {\sigma }^2_{d{\rm 1}}+{\left(\frac{d_2-d_1\cdot {\cos \left(\omega \right)\ }}{l}\right)}^2\cdot {\sigma }^2_{d{\rm 2}}+{\left(\frac{d_1\cdot d_2\cdot {\sin \left(\omega \right)\ }}{l}\right)}^2\cdot {\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2. $$

Pro obvyklý případ, kdy se vytyčují obě délky se stejnou přesností ${\sigma }_{d1}={\sigma }_{d2}={\sigma }_d$ lze vztah zjednodušit do tvaru:

$${\sigma }^2_l=\left[{\left(\frac{d_1-d_2\cdot {\cos \left(\omega \right)\ }}{l}\right)}^2+{\left(\frac{d_2-d_1\cdot {\cos \left(\omega \right)\ }}{l}\right)}^2\right]\cdot {\sigma }^2_d+{\left(\frac{d_1\cdot d_2\cdot {\sin \left(\omega \right)\ }}{l}\right)}^2\cdot {\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2 .$$

Po roznásobení a triviálních úpravách:

$${\sigma }^2_l=\left[2-\frac{d^2_1+d^2_2}{l^2}{\cdot \left({\sin \left(\omega \right)\ }\right)}^2\ \right]\cdot {\sigma }^2_d+{\left(\frac{d_1\cdot d_2\cdot {\sin \left(\omega \right)\ }}{l}\right)}^2\cdot {\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2 . $$

Rovnici lze symbolicky vyjádřit ve tvaru:

$${\sigma }^2_l=A\cdot {\sigma }^2_d+B\cdot {\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2 , $$

kde $A$ a $B$ jsou konstanty dané konfigurací. (Pro vyjímečný případ různých přesností vytyčovaných délek ve tvaru ${\sigma }^2_l=A\cdot {\sigma }^2_{d1}+B\cdot {\sigma }^2_{d2}+C\cdot {\left(\frac{{\sigma }_{\omega }}{\rho }\right)}^2$).

Opět jsou zde dvě neznámé ${\sigma }_d$ a ${\sigma }_{\omega }$, jejich vzájemný vztah je třeba zvolit s ohledem na požadovanou výslednou přesnost.

Při volbě stanoviska vytyčení lze využít výhodné konfigurace, kdy se velmi málo projeví nepřesnost měření délek a chyba délky vytyčené úsečky je produktem zejména nepřesnosti vytyčení úhlu. Výhodnost jednotlivých konfigurací bude demonstrována v následující tabulce. Je zde vypočtena přesnost pro vytyčení úsečky $l=10\ m$ polární metodou z jednoho stanoviska v různých variantách natočení úsečky, které je charakterizováno úhlem $\alpha $ sevřeným vytyčovanou úsečkou a spojnicí stanovisko - střed úsečky. Vzdálenost stanovisko - střed úsečky je $30\ m$, směrodatná odchylka vytyčení délky je ${\sigma }_d=2\ mm$, směrodatná odchylka vytyčení úhlu je ${\sigma }_{\omega }{\rm =1,5\ mgon}$, směrodatná odchylka realizace je ${\sigma }_r=1\ mm$. Situace modelu je znázorněna na Obr. 2.

;#; Obr. 2 Situace modelu přesnosti vytyčení úsečky (vlevo význam úhlu $\alpha $, vpravo princip generování jednotlivých variant) ;#;

Tab. 1 Vliv jednotlivých složek a celková přesnost vytyčení délky úsečky

;#; Obr. 3 Vliv jednotlivých složek a celková přesnost vytyčení délky úsečky - grafické znázornění ;#;

V uvedeném případě je příčná chyba způsobená nepřesností vytyčení úhlu významně menší než chyba vytyčení délky a tedy lze ve vhodné konfiguraci dosáhnout vyšší přesnosti než je přesnost přímého vytyčení délky. V uvedeném případě byla navíc zvolena směrodatná odchylka realizace ${\sigma }_r=1\ mm$ poměrně velká, na uvedenou vzdálenost lze při přímé viditelnosti dosáhnout směrodatné odchylky i poloviční.

Pro úhel sevřený vytyčovanou úsečkou a spojnicí přístroj - střed úsečky $\alpha =100\ gon$ je konfigurace nejpříznivější za předpokladu, že vliv vytyčení délek je větší než vliv vytyčení úhlu. V opačném případě je nejvhodnější konfiguraci případ $\alpha =0\ gon$.

Kontrolují se přímo měřené veličiny v rámci kontroly vytyčení bodu, zvlášť není další kontrola pro rozměr úsečky možná.

Kontroluje se vlastní rozměr úsečky nezávisle, při kontrole je nutné uvážit také přesnost kontrolní metody. Lze použít např. pro krátké vzdálenosti měření pásmem nebo kontrola měřením vodorovných směrů a délek z vhodné konfigurace. Kontrola se provede porovnáním rozdílu kontrolně určené a projektované délky s mezním rozdílem:

$${\triangle }_{Md}=u_p\cdot \sqrt{{\sigma }^2_k+{\sigma }^2_d} , $$

kde ${\sigma }^2_k$ je směrodatná odchylka kontrolní metody a ${\sigma }^2_d$ je požadovaná směrodatná odchylka vytyčované úsečky.

« 5. Vytyčení polohy bodu polární metodou
» 7. Apriorní rozbor modelováním úloh s vyrovnáním (i bez)