**[[..:04_teorie_chyb|Teorie chyb]]** **<<** [[04_teorie_chyb:0414_vyrovnani_primych_mereni|14. Vyrovnání přímých měření]]\\ **>>** [[04_teorie_chyb:0416_vyrovnani_podminkovych_mereni|16. Vyrovnání podmínkových měření]] 15. Vyrovnání zprostředkujících měření ===== Úvod ===== ### Způsobu vyrovnání zprostředkujících měření používáme v případech, kdy hledané neznámé veličiny se neměří přímo, ale určují se prostřednictvím jiných měřených veličin, které jsou s neznámými ve známém vztahu. Konaná měření se zde nazývají nepřímá neboli zprostředkující. V předešlém případě přímých měření se měřením určovala jediná neznámá veličina, nyní se může současně určovat i více neznámých. K vyrovnání dojde, jestliže konáme nadbytečná měření, takže můžeme sestavit více rovnic, než je neznámých. Zprostředkující měření jsou zatížena nevyhnutelnými chybami, které se přenášejí i na odhady neznámých. Vyrovnáním budeme hledat nejspolehlivější hodnoty neznámých a jejich střední chyby, eventuálně vyrovnaná zprostředkující měření a jejich střední chyby. ### ===== Formulace úlohy ===== ### Hledané neznámé podléhají naší volbě. Jejich počet a charakter musí být takový, aby jednoznačně určovaly danou situaci. To znamená, že jejich počet bude odpovídat počtu nutných měření a nebudou mezi nimi existovat funkční závislosti. Potom půjde bez problémů pro každé provedené zprostředkující měření sestavit vztah typu: $${\mathbf L}={\mathbf l}+{\mathbf \varepsilon }={\mathbf L}\left({\overline{{\mathbf x}}}^T\right). $$ Podle obecné formulace vztah upravíme na tvar: $\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}+{\mathbf v}=\overline{{\mathbf l}}({{\mathbf x}}^T),$ kde $\overline{{\mathbf l}}$ a ${\mathbf L}$ jsou stejné funkce, z něhož přímo vyplývá tzv. rovnice oprav: $${\mathbf v}=\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T\right)-{\mathbf l}, $$ pro kterou požadujeme splnění podmínky ${{\mathbf v}}^T{\mathbf P \mathbf v}=min.$ ### ===== Postup řešení ===== ### Předpokladem pro získání jednoduchých rovnic k výpočtu hledaných neznámých je lineární tvar rovnic oprav, kde jednotlivé neznámé jsou vzájemně odděleny. Tato tzv. linearizace se provede rozvojem funkčního vztahu v Taylorovu řadu s omezením na členy prvého řádu. Proto musíme zavést dostatečně přibližné hodnoty neznámých ${{\mathbf x}}_0$, dále vyjádřit ${\mathbf x}={{\mathbf x}}_0+{\mathbf d \mathbf x}$, dosadit do rovnice oprav a provést rozvoj s omezením na členy prvého řádu: $${\mathbf v}=\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T_0\right)+{\left.\frac{\partial \overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial {{\mathbf x}}^T}\right|}_{{\mathbf x}={{\mathbf x}}_0}\cdot {\mathbf d \mathbf x}-{\mathbf l}.$$ Po zavedení nového označení: $${\left.\frac{\partial \overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial {{\mathbf x}}^T}\right|}_{{\mathbf x}={{\mathbf x}}_0}={\left.\left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {\overline{{\mathbf l}}}_1\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial {\overline{{\mathbf l}}}_1\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial x_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial {\overline{{\mathbf l}}}_n\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial {\overline{{\mathbf l}}}_n\left({{\mathbf x}}^T\right)}{\partial x_k} \end{array} \right)\right|}_{{\mathbf x}={{\mathbf x}}_0}=\left( \begin{array}{c} {{\mathbf a}}^T_1 \\ \vdots \\ {{\mathbf a}}^T_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nk} \end{array} \right)={\mathbf A}$$ a $\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T_0\right)-{\mathbf l}{\mathbf =}{\mathbf l}{\mathbf '}$ s názvem redukované měření dostaneme $${\mathbf v}={\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf l}'. $$ * **Poznámka:** Číselné hodnoty ${{\mathbf x}}_0$ můžeme zvolit nebo přibližně určit tak, aby se v rovnicích oprav neuplatnily členy druhého a vyšších řádů. Tyto členy nemůžeme brát v úvahu; již při dvou neznámých by normální rovnice byly kubické. Kdyby vyrovnání dalo příliš velké přírůstky ${\mathbf d \mathbf x}$, musíme výsledky vyrovnání ${{\mathbf x}}_{{\mathbf 0}}+{\mathbf d \mathbf x}$ považovat za nové přibližné hodnoty neznámých a vyrovnání opakovat. Uplatnění zanedbaných členů 2. řádu se projeví v tom, že závěrečná kontrola např. $\overline{{\mathbf l}}\left({\mathbf x}\right)={\mathbf l}+{\mathbf v}$ neuspokojí v žádoucím desetinném místě. Toto pravidlo se netýká lineárních tvarů funkce, kde můžeme volit přírůstky libovolně veliké (popř. hodnoty neznámých vůbec neredukovat). Tvar rovnic oprav zůstane stejný se substitucí ${\mathbf x}\approx {\mathbf d \mathbf x}$ , $-{\mathbf l}\approx {\mathbf l}'$. Obecně předpokládáme, že každé měření bylo provedeno s různou přesností a tudíž každému měření a tedy i opravě přisoudíme různou váhu $p_i$. Opět jde o jisté normování. Podmínku MNČ ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}=min.$ splníme podle známých pravidel: $$\frac{\partial {{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}}{\partial {\mathbf d \mathbf x}}=\left(\frac{\partial {\mathbf v}}{\partial {\mathbf d}{{\mathbf x}}^T}\right)\cdot 2\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}={{\mathbf A}}^T\cdot 2\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}={\mathbf 0}. $$ Po dosazení za ${\mathbf v}$ a krácení dvěma: $${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot \left({\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf l}'\right)={\mathbf 0} ,$$ $${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}{\mathbf +}{{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}'={\mathbf 0} ,$$ dostáváme tzv. normální rovnice. Symetrická matice ${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}$ se často v literatuře označuje ${\mathbf N}$. V upraveném klasickém zápisu má tvar: $${\mathbf N}=\left( \begin{array}{cccc} \left[pa_1a_1\right] & \left[pa_1a_2\right] & \cdots & \left[pa_1a_k\right] \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \left[pa_1a_k\right] & \left[pa_2a_k\right] & \cdots & \left[pa_ka_k\right] \end{array} \right) . $$ Řešení normálních rovnic zapíšeme ve tvaru: $${\mathbf d \mathbf x}=-{{\mathbf N}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}'. $$ Z vyrovnaných přírůstků určíme hledané neznámé: $${\mathbf x}{\mathbf =}{{\mathbf x}}_{{\mathbf 0}}+{\mathbf d \mathbf x}. $$ Dále vypočteme opravy: $${\mathbf v}={\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf l}'$$ a z nich hodnoty vyrovnaných veličin: $$\overline{{\mathbf l}}={\mathbf l}+{\mathbf v}. $$ Metody řešení normálních rovnic rozebereme v samostatném článku. ### ===== Kontroly ===== ### Některé kontroly jsou nutné i při počítačovém zpracování. V opačném případě je kontrol daleko více a je dobré je používat. Nejnebezpečnější jsou chyby v sestavení výchozích vztahů, což nám nekontroluje nic, a chyby, kterých se dopustíme při linearizaci. Na ty se zcela přijde až při závěrečné kontrole. Pro okamžitou kontrolu je vhodný tento postup: Zvolíme nové přibližné hodnoty neznámých, zvětšené oproti prvé volbě vždy o jedničku v rozměru zavedeném pro řešené přírůstky: $${\overline{{\mathbf x}}}_0={{\mathbf x}}_0+{\mathbf e}, $$ kde ${\mathbf e}$ je vektor jedniček. Sestavíme a postupně upravíme výraz: $${\rm -}{{\mathbf s}}^{II}{\rm =}\overline{{\mathbf l}}\left({\overline{{\mathbf x}}}^T_0\right){\rm -}{\mathbf l}{\rm =}\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T_0{\rm +}{{\mathbf e}}^T\right){\rm -}{\mathbf l}{\mathbf =}\overline{{\mathbf l}}\left({{\mathbf x}}^T_0\right){\mathbf +}{\mathbf A}\cdot {\mathbf e}{\mathbf +}{\rm č}l{\rm .2.ř}{\mathbf -}{\mathbf l}{\mathbf =}{\mathbf A}\cdot {\mathbf e}{\mathbf +}{{\mathbf l}}^{{\mathbf '}}{\mathbf =-}{{\mathbf s}}^I .$$ Kontrola spočívá v porovnání dvou kontrolních symbolů ${\mathbf s}$. V klasickém zápise: $$s^I_i=-\left(a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}+\cdots +l_i'\right),$$ $$s^{II}_i=-l_i\left({\overline{x}}_{01},\ {\overline{x}}_{02},\cdots ,{\overline{x}}_{0k}\right)+l_i. $$ Kontrola kontroluje sestavení matice ${\mathbf A}$ a vektoru ${\mathbf l}'$. Po sestavení normálních rovnic a jejich řešení je vhodné provést kontroly dříve nazývané sigmovými zkouškami: $${{\mathbf l}}'^{T}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{{\mathbf l}}'^{T}\cdot {\mathbf P}\cdot {{\mathbf l}}'={{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}$$ a kontrola $${{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}{\mathbf =}{\mathbf 0}. $$ Klasicky: $$\left[pa_1l'\right]\cdot dx_1+\left[pa_2l'\right]\cdot dx_2+\dots +\left[pl'l'\right]=\left[pvv\right]. $$ Rovnost $\left[pl'l'.k\right]=\left[pvv\right]$ (kde první symbol znamená po tzv. $k$-té redukci) uplatníme hlavně pro pozdější odvození $m_0$ z oprav. Tyto vztahy kontrolují výpočet koeficientů normálních rovnic, výpočet neznámých ${\mathbf d \mathbf x}$, výpočet oprav a ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}$. Nejdůležitější je závěrečná kontrola. Je jí dvojí výpočet oprav ze vzorců: $${{\mathbf v}}^I={\mathbf A}\cdot {\mathbf d \mathbf x}+{\mathbf l}', $$ $${{\mathbf v}}^{II}={\overline{{\mathbf l}}{\mathbf (}{\mathbf x}}^T)-{\mathbf l}. $$ Nesouhlas ${{\mathbf v}}^I\ne {{\mathbf v}}^{II}$ při splnění ostatních kontrol, ukazuje na chybu v linearizaci nebo chybné připojení přírůstků ${\mathbf x}={{\mathbf x}}_0+{\mathbf d \mathbf x}$. ### ===== Střední chyby ===== ### Pro hodnocení důvěryhodnosti vyrovnaných hodnot používáme tyto střední chyby: - střední chybu jednotkovou ${\overline{m}}_0$ (základ pro výpočet ostatních středních chyb), - střední chybu vyrovnané neznámé ${\overline{m}}_x$, - střední chybu funkce vyrovnaných neznámých ${\overline{m}}_f$, - střední chybu vyrovnaného měření ${\overline{m}}_{\overline{l}}$. ### ==== Odhad jednotkové střední chyby ==== ### Střední chyba jednotková se používá pro výpočet všech středních chyb podle univerzálního vzorce: $$\overline{m}={\overline{m}}_0\cdot \sqrt{Q}. $$ Jednotlivá měření $l_i$ mohou vstupovat do vyrovnání se známými středními chybami ${\overline{m}}_i$ nebo jejich odhady $m_i$, vypočítanými např. z rozporů mezi opakovanými měřeními téže veličiny $l_i$. Známe-li hodnoty ${\overline{m}}_i$, známe předem i jednotkovou střední chybu $${\overline{m}}_0={\overline{m}}_i\cdot \sqrt{p_i}. $$ Nezávisle na těchto číselných hodnotách můžeme znovu odhadnout číselné hodnoty střední chyby jednotkové $m_0$ i středních chyb $m_i$ jednotlivých měření $l_i$ z provedeného vyrovnání, tj. z oprav $v_i$, neboli z rozporů mezi naměřenými a vyrovnanými hodnotami souboru všech měření $l_1,\ l_2,\ \dots ,\ l_n$. Jednotlivé číselné hodnoty jsou náhodným výběrem ze základních souborů všech možných hodnot každého jednotlivého měření. Při opakování měření dostáváme opět jiný výběr číselných hodnot $l_1,\ l_2,\ \dots ,\ l_n$. Proto hodnoty $m_0$, $m_i$ vyčíslené z oprav $v_i$ budou náhodné veličiny a pouze odhady skutečných středních chyb ${\overline{m}}_0$, ${\overline{m}}_i$ (parametrů rozdělení). Proto můžeme $m_0$ označit také jako „výběrovou" jednotkovou střední chybu. Výpočetní vzorce jsme definovali: $${\overline{m}}^2_0=E\left(p\cdot {\varepsilon }^2\right), m^2_0=\frac{\left[p\varepsilon \varepsilon \right]}{n} , {\overline{m}}^2_0=p_i\cdot {\overline{m}}^2_i. $$ Skutečné chyby $\varepsilon $ však zůstávají neznámé a musíme je proto nahradit opravami $v$. Stavba rovnic oprav $${\mathbf v}={\mathbf A}\cdot {\mathbf d}{\mathbf x}+{\mathbf l}'$$ platí i pro skutečné chyby (podle zákona hromadění): $${\mathbf \varepsilon }={\mathbf A}\cdot {\mathbf d}\overline{{\mathbf x}}+{\mathbf l}'$$ Vytvoříme rozdíl a po úpravě dostaneme rovnici oprav ${\mathbf v}$ novém tvaru: $${\mathbf v}{\mathbf -}{\mathbf \varepsilon }{\mathbf =}{\mathbf A}\cdot \left({\mathbf d \mathbf x}{\mathbf -}{\mathbf d}\overline{{\mathbf x}}\right){\mathbf =-}{\mathbf A}\cdot {{\mathbf \varepsilon }}_{{\mathbf x}}, $$ $${\mathbf v}{\mathbf =-}{\mathbf A}\cdot {{\mathbf \varepsilon }}_{{\mathbf x}}{\mathbf +}{\mathbf \varepsilon }. $$ Splnění podmínky ${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}$ pro předchozí vztah by vedlo k normálním rovnicím pro neznámé ${{\mathbf \varepsilon }}_{{\mathbf x}}$, ale také ke vztahu: $${{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}{\mathbf =}\left({{\mathbf \varepsilon }}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf \varepsilon }.k\right), $$ kde $k$ značí Gaussův symbol $k$-té redukce při výpočtu Gaussovou eliminací. Platí též: $$\left[pvv\right]=\left[p\varepsilon \varepsilon \right]-\frac{{\left[pa_1\varepsilon \right]}^2}{\left[pa_1a_1\right]}-\frac{{\left[pa_2\varepsilon .1\right]}^2}{\left[pa_1a_1.1\right]}-\dots . $$ Vždy platí $\left[pvv\right]<\left[p\varepsilon \varepsilon \right]$. Ve vztahu zavedeme střední hodnoty a podle definic i střední chyby. Vztah budeme upravovat v klasickém zápisu. Po kratších úpravách obdržíme: $$E\left[pvv\right]=n\cdot {\overline{m}}^2_0-{\overline{m}}^2_0-\dots =\left(n-k\right)\cdot {\overline{m}}^2_0, $$ přičemž se tolikrát odečte ${\overline{m}}^2_0$, kolik je normálních rovnic (neznámých). Podle tohoto vztahu odvodíme rovnici pro odhad jednotkové střední chyby $m_0$ z daného výběru $n$ oprav $$m_0=\sqrt{\frac{{{\mathbf v}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf v}}{n-k}}=\sqrt{\frac{\left[pvv\right]}{n-k}},$$ kde $n-k$ je počet nadbytečných měření. $m_0$ je aposteriorní odhad jednotkové střední chyby (měření o váze $p_0=1$), neboli empirická jednotková střední chyba plynoucí z vyrovnání (z oprav) zprostředkujících měření. Hodnota $m_0$ je náhodná a závislá na náhodném střetnutí hodnot skutečných chyb ${\varepsilon }_1,\ \dots ,\ {\varepsilon }_n$. Kromě výpočtu $m_0$, které můžeme též považovat za „průměrnou" přesnost vstupujících měření (vztaženo k váze 1): $$m^2_0=\frac{\left[p\cdot m^2_l\right]}{n} ,$$ můžeme odhadnout i „průměrnou" přesnost vystupujících vyrovnaných měření: $$M^2_0=\frac{\left[p\cdot m^2_{\overline{l}}\right]}{n}=m^2_0\cdot \frac{k}{n} , $$ $M_0$ charakterizuje soubor zbylých chyb ${\varepsilon }'=\varepsilon -v$ ve vyrovnaných veličinách $l+v$, koeficient $\sqrt{{k}/{n}}$ znamená průměrné zmenšení původních standardů (průměrné zvýšení přesnosti) vyrovnáním souboru měření. Operacemi ${\mathbf x}{\mathbf =}{{\mathbf N}}^{{\mathbf -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}$ vyjádříme libovolnou vyrovnanou neznámou jako lineární funkci všech zprostředkujících měření. Analogicky operacemi ${{\mathbf \varepsilon }{\mathbf '}}_x{\mathbf =}{{\mathbf N}}^{{\mathbf -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf \varepsilon }$ vyjádříme zbylou chybu ${\varepsilon {\mathbf '}}_{x_i}$ ve vyrovnané neznámé $x_i$ jako lineární funkci původních skutečných chyb ${\varepsilon }_j$ ve všech měřených veličinách $l_j$ ($j=1,2,\ ...,n$). Konečný tvar lze zapsat: $${{\mathbf \varepsilon }}'_{{\mathbf x}}={\mathbf \alpha }\cdot {\mathbf \varepsilon }. $$ Koeficient ${\alpha }_{ij}$ udává, jakým podílem své skutečné hodnoty se původní chyba ${\varepsilon }_j$ podílí na vytvoření číselné hodnoty zbylé chyby ${\varepsilon '}_{x_i}$. Matice ${\mathbf \alpha }$ koeficientů ${\alpha }_{ij}$ takto dává informaci o zákonech přenášení původních chyb, např. ve vyrovnané síti (i o stochastických vztazích mezi vyrovnanými veličinami) a slouží jako „modelová" matice pro zkoumání efektivnosti měření. ### ==== Střední chyby vyrovnaných neznámých ==== ### Počítají se ze vzorce: $${\overline{m}}_x={\overline{m}}_0\cdot \sqrt{Q_{x_ix_i}}, $$ Kde $Q_{x_ix_i}$ jsou diagonální prvky matice ${\mathbf Q}$. Výpočet této matice se odvodí podle zákona hromadění vah: $${{\mathbf Q}}_f={\mathbf H}\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {{\mathbf H}}^T$$ aplikací na vztah $${\mathbf f}\equiv {\mathbf x}{\rm =}{{\mathbf N}}^{{\rm -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf l}.$$ Zde jsou jednotlivé neznámé vyjádřeny jako funkce původních nezávislých měření ${\mathbf l}$ a můžeme proto opět použít zákon hromadění vah. Dosadíme ${\mathbf H}{\rm =}{{\mathbf N}}^{{\rm -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}$ a použijeme platné vztahy: ${\mathbf P}\cdot {{\mathbf P}}^{-1}={\mathbf E}$, ${\left({{\mathbf N}}^{-1}\right)}^T={{\mathbf N}}^{-1}$, ${{\mathbf P}}^T={\mathbf P}$, ${{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}{\rm =}{\mathbf N}$, ${\mathbf N}\cdot {{\mathbf N}}^{-1}={\mathbf E}$. Obdržíme: $${{\mathbf Q}}_x={{\mathbf N}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {{\mathbf P}}^{-1}\cdot {\left({{\mathbf N}}^{{\rm -}{\mathbf 1}}\cdot {{\mathbf A}}^{{\mathbf T}}\cdot {\mathbf P}\right)}^T={{\mathbf N}}^{-1}\cdot {{\mathbf A}}^T\cdot {\mathbf P}\cdot {\mathbf A}\cdot {{\mathbf N}}^{-1}, $$ $${{\mathbf Q}}_x={{\mathbf N}}^{-1}\cdot {\mathbf N}\cdot {{\mathbf N}}^{-1}{\mathbf =}{{\mathbf N}}^{-1}.$$ Potřebné elementy ${{\mathbf Q}}_{x_ix_i}$ získáme tedy z inverzní matice soustavy normálních rovnic. ### ---- **<<** [[04_teorie_chyb:0414_vyrovnani_primych_mereni|14. Vyrovnání přímých měření]]\\ **>>** [[04_teorie_chyb:0416_vyrovnani_podminkovych_mereni|16. Vyrovnání podmínkových měření]]