Obsah
« 3. Přesnost měření 4. Některá rozdělení náhodných veličin ÚvodKromě charakteristik náhodných veličin je nejúplnější charakteristikou tzv. rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, které je udáno vzorcem, grafem, či tabulkou. Uvedeme zde v naší disciplíně nejpoužívanější rozdělení, jak pro diskrétní, tak pro spojité náhodné proměnné a to binomické rozdělení a normální rozdělení. Dále v řadě matematicko - statistických úloh mají zvláštní význam tři rozdělení, která jsou odvozena z normálního rozdělení. Jsou to rozdělení (čteme chí-kvadrát), Studentovo -rozdělení a Snedecorovo - Fischerovo -rozdělení. Binomické rozděleníPro diskrétní náhodnou proměnnou používáme v grafickém vyjádření nejčastěji sloupcovitý graf, zvaný histogram a typickým rozdělením je tzv. binomické rozdělení použitelné při opakovaném pokusu (či měření téže veličiny) za stejných podmínek. Náhodnou veličinou je zde počet výskytů určitého jevu (počet chyb stejného znaménka) při provedení opakování. Pravděpodobnost je dána vztahem pro , kde jsme označili pravděpodobnost zkoumaného jevu a opačnou pravděpodobnost (pravděpodobnost, že zkoumaný jev nenastane) . Tento vztah se též nazývá frekvenční funkcí a pravděpodobnost, že se náhodná proměnná uskuteční až do konkrétního počtu je dána distribuční funkcí danou zde vztahem: pro . Základními charakteristikami binomického rozdělení jsou:
Normální rozdělení (Laplace - Gaussovo)Toto rozdělení je nejdůležitějším rozdělením spojité náhodné veličiny, kterým lze za jistých podmínek aproximovat i některá rozdělení diskrétní. Obecně lze říci, že toto rozdělení je použitelné všude tam, kde kolísání náhodné veličiny je způsobeno součtem velkého počtu nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů. Matematickým odvozením normálního rozdělení se nebudeme zabývat, velmi názorně však ilustruje vznik normálního rozdělení případ binomického rozdělení s pravděpodobnostmi (pravděpodobnost výskytu kladné a záporné chyby) a s rostoucím . Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení je dána frekvenční funkcí, jejíž graf je znám pod názvem „Gaussova křivka“:
Tato frekvenční funkce má dva parametry a to střední hodnotu (může být libovolná) a varianci . Normální rozdělení značíme . Frekvenční funkce má vrchol v bodě . Distribuční funkce normálního rozdělení bude
Z dalších charakteristik uvedeme momenty
Uvedeme zde také normovanou veličinu , která se získá transformací
Tato veličina má normované normální rozdělení , protože platí relace , . Hustota pravděpodobnosti veličiny bude
a distribuční funkce
Obr. 1 Normální rozdělení Obě funkce se tabelují a tyto tabulky se používají i pro stanovení hodnot hustoty pravděpodobnosti i distribuční funkce nenormovaného normálního rozdělení. Při praktických aplikacích se při výpočtech vždy nejdříve přechází z náhodné veličiny na normovanou veličinu , s výhodou se použijí tabulky a a přejde se zpět na veličinu . Tabelace obou funkcí se často omezuje na nezáporná . Hodnoty pro se odvozují ze vztahů
V praxi se často využívá symetrie frekvenční funkce normálního rozdělení a tabeluje se místo distribuční funkce tzv. Laplaceova funkce (pro )
pro kterou platí následující relace: ; ; ; . Pro stanovení pravděpodobnosti, že náhodná veličina s rozdělením nabude hodnoty z nějakého intervalu postupujeme tak, že stanovíme dolní mez normované veličiny , stanovíme dolní mez normované veličiny :
Hledaná pravděpodobnost pak bude:
Rozdělení Chí-kvadrátUvažujme náhodných veličin , , …, , které jsou vzájemně nezávislé a každá z nich má normální rozdělení . Potom rozdělení součtu čtverců
těchto veličin má tzv. -rozdělení s hustotou pravděpodobnosti
Obr. 2 rozdělení Parametr se nazývá počet stupňů volnosti a je roven počtu nezávislých prvků (počet všech prvků zmenšený o počet lineárních vztahů mezi nimi) a rozdělení se značí . Funkce (Eulerův integrál) je pro definována:
Pro celá platí:
Např. platí . Střední hodnota bude: a variance . Distribuční funkce bude
a bývá tabelována pro různé počty stupňů volnosti a hodnoty . Místo distribuční funkce jsou často tabelovány:
nazýváme hladinou významnosti či rizikem. Studentovo t-rozděleníMějme dvě nezávislé veličiny a . Veličina nechť má rozdělení a veličina rozdělení . Potom hustota pravděpodobnosti veličiny
bude , pro a Distribuční funkce bude:
Obr. 3 Studentovo -rozdělení Rozdělení s hustotou pravděpodobnosti se nazývá Studentovo -rozdělení (autorem odvození byl Gosset, píšící pod pseudonymem Student) o stupních volnosti a označuje se . Počet stupňů volnosti je dán počtem stupňů volnosti veličiny ve jmenovateli veličiny . Rozdělení t je symetrické s jedním vrcholem v bodě . Pro lze velmi dobře Studentovo -rozdělení nahradit normovaným normálním rozdělením . Tabelují se:
Při tabelaci kritických hodnot pouze pro se kritické hodnoty pro stanoví ze vztahu , což současně platí i pro kvantily . Rozdělení F (Snedecorovo - Fisherovo)Mějme dvě nezávislé veličiny a . Veličina má rozdělení a veličina rozdělení . Potom veličina
má Snedecorovo (Fisherovo) -rozdělení s hustotou pravděpodobnosti
Distribuční funkce bude
Obr. 4 Snedecorovo - Fisherovo -rozdělení Rozdělení s hustotou pravděpodobnosti se nazývá Snedecorovo -rozdělení s , stupni volnosti a značí se . Přitom () je počet stupňů volnosti náhodné veličiny , () v čitateli (jmenovateli) náhodné veličiny . Tabelují se:
V případě tabelace kritických hodnot pouze pro hodnoty , použijeme pro výpočet hodnot pro vztah , což znamená, že za procentní kritickou hodnotu rozdělení použijeme reciprokou hodnotu procentní kritické hodnoty rozdělení , tedy z rozdělení se zaměněnými počty stupňů volnosti. |