04_teorie_chyb:0408_zakon_rozdeleni_chyb_v_prostoru | IngGeo

« 7. Chyby dvojrozměrné
» 9. Zákon hromadění skutečných chyb

8. Zákon rozdělení chyb v prostoru

Úvod

Zvolme příklad časované dělostřelby prováděné přibližně ve směru osy $x$ . Střely po určité době od výstřelu vybuchují. Vlivem různých chyb a vlivů jsou rozprasky prostorově rozptýleny. Jejich těžiště je dáno střední vodorovnou vzdáleností $x_T$ , střední výškou $z_T$ a střední úchylkou $y_T$ ve směru osy $y$ . Každý jednotlivý rozprask má prostorové (chybové) souřadnice ( $x_i$ , $y_i$ , $z_i$ ) vzhledem k předem zvolenému počátku (cíli) $0$ a ( $x_i'$ , $y_i'$ , $z_i'$ ) vzhledem k těžišti $T$ (přičemž $[x']=[y']=[z']=0$ ). Rozptyl může být nestejný v každém ze tří hlavních směrů a je charakterizován středními chybami v souřadnicích ${\sigma }_x$ , ${\sigma }_y$ , ${\sigma }_z$ , kde platí ${\sigma }^2_x=E(x^2)$ , ${\sigma }^2_y=E(y^2)$ , ${\sigma }^2_z=E(z^2)$ a jejich empirické hodnoty $m^2_x=[xx]/n$ , $m^2_y=\ [yy]/n$ , $m^2_z=[zz]/n$ .

Jiným příkladem je odměření nebo určení souřadnic bodu v prostoru. Postupně jsme získali trojice výsledků ( $x_1$ , $y_1$ , $z_1$ ), ( $x_2$ , $y_2$ , $z_2$ ),…,( $x_n$ , $y_n$ , $z_n$ ). Pro nejspolehlivější polohu bodu byly vytvořeny aritmetické průměry:

$x_T=\frac{\left[x\right]}{n} , y_T=\frac{\left[y\right]}{n} , z_T=\frac{\left[z\right]}{n} .$

Odchylky

$x'_i=x_i-x_T, y'_i=y_i-y_T,z'_i=z_i-z_T, \left[x'\right]=\left[y'\right]=\left[z'\right]=0$

svým rozptylem dávají odhady (empirické hodnoty) čtverců středních chyb měření v jednotlivých směrech $m^2_x$ , $m^2_y$ , $m^2_z$ .

Souřadnice ( $x_T,y_T$ , $z_T$ ) jsou souřadnice těžiště bodů $P_i(x_i, y_i, z_i)$ , do něhož jsme uvedenou redukcí souřadnic položili počátek $0$ pomocné souřadnicové soustavy $(x',\ y',\ z')$ .

Pravděpodobnostní element, že chyba v souřadnicích $x$ bude v mezích $x$ a $(x+dx)$ , je ${\varphi }_1(x)dx$ a podobně v ostatních směrech. Pravděpodobnostní element, že chybový bod (rozprask) bude v prostorovém elementu $(dx,dy,dz)$ současně vzdálen o $x$ , $y$ , $z$ od cíle $0$ , přičemž se střetnou vzájemně nezávislé chyby o velikostech $x$ , $y$ , $z$ ve výslednou polohovou chybu $\varepsilon =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , bude

$P_3={\varphi }_3\left(x,y,z\right)dx\ dy\ dz={\varphi }_1\left(x\right)dx\cdot {\varphi }_1\left(y\right)dy\cdot {\varphi }_1\left(z\right)dz.$

Sledují-li chyby v jednotlivých směrech normální rozdělení pravděpodobnosti s centry $E(x)=E(y)=E(z)=0$ , bude sdružená hustota pravděpodobnosti v poloze $(x, y, z)$

${\varphi }_3\left(x,y,z\right)=\frac{1}{\sqrt{8{\pi }^3}\cdot {\sigma }_x\cdot {\sigma }_y\cdot {\sigma }_z}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{x^2}{{\sigma }^2_x}+\frac{y^2}{{\sigma }^2_y}+\frac{z^2}{{\sigma }^2_z}\right)},$

kde střední chyby ${\sigma }_x$ , ${\sigma }_y$ , ${\sigma }_z$ pokládáme za známé. Upravme osový tvar rovnice pro elipsoid

$\frac{x^{{\rm 2}}}{a^{{\rm 2}}}{\rm +}\frac{y^{{\rm 2}}}{b^{{\rm 2}}}{\rm +}\frac{z^{{\rm 2}}}{c^{{\rm 2}}}{\rm =1} , \frac{x^2}{{\left(t\cdot {\sigma }_x\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left({t\cdot \sigma }_y\right)}^2}+\frac{z^2}{{\left(t\cdot {\sigma }_z\right)}^2}=1, \frac{x^2}{{\sigma }^2_x}+\frac{y^2}{{\sigma }^2_y}+\frac{z^2}{{\sigma }^2_z}=t^2,$

kde $t$ je libovolně volený parametr. Pak všechny body (chyby), vyhovující výše uvedené rovnici, tj. dávající určitou hodnotu parametru $t$ , mají tutéž pravděpodobnost výskytu a leží na ploše trojosého elipsoidu chyb stejné hustoty pravděpodobnosti (chyb), zkráceně na elipsoidu chyb (Obr. 1).

Obr. 1 Elipsoid chyb

Měníme-li postupně parametr $t$ , dostáváme soubor souosých a soustředných elipsoidů o poloosách

$a=t\cdot {\sigma }_x, b=t\cdot {\sigma }_y, c=t\cdot {\sigma }_z .$

Pro $t=1$ mají osy velikosti $a={\sigma }_x$ , $b={\sigma }_y$ , $c={\sigma }_z$ a vznikne střední elipsoid chyb. Při stejné přesnosti ve dvou směrech os se vytvoří soustředné a souosé rotační elipsoidy chyb, při stejné přesnosti ve všech směrech os ${\sigma }_x={\sigma }_y={\sigma }_z$ soustředné koule chyb. V posledním případě by kulová plocha byla současně i plochou stejně velikých chyb $\varepsilon =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ a pravděpodobnost padnutí chyby do elementární slupky o tloušťce $d\varepsilon$ bude

${\varphi }_3\left(\varepsilon \right)d\varepsilon =\frac{1}{\sqrt{8{\pi }^3}\cdot {\sigma }^3}\cdot e^{-\frac{{\varepsilon }^2}{2\cdot {\sigma }^2}}\cdot 4\pi {\varepsilon }^2d\varepsilon =\frac{2{\varepsilon }^2}{\sqrt{2\pi }\cdot {\sigma }^3}\cdot e^{-\frac{{\varepsilon }^2}{2{\sigma }^2}}\cdot d\varepsilon .$

V případě odchylek od těžiště $x'$ , $y'$ , $z'$ budou jako odhady hodnot ${\sigma }_x$ , ${\sigma }_y$ , ${\sigma }_z$ použity $m_x$ , $m_y$ a $m_z$ :

$m^2_x=\frac{\left[x'x'\right]}{n-1} ,m^2_y=\frac{\left[y'y'\right]}{n-1} ,m^2_z=\frac{\left[z'z'\right]}{n-1} .$

Ke zjištění pravděpodobnosti, že bod (chyba) leží na ploše elipsoidu chyb o zvoleném parametru $t$ , musíme umístit chybu do nekonečně tenké slupky o tloušťce odpovídající všude změně parametru o $dt$ (že leží ve vrstvě mezi elipsoidy o parametru $t$ a $t+dt$ ). Objem elipsoidu označíme $V$ , diferenciální změnu objemu $dV$ při změně parametru $t$ o $dt$ . (Tato změna znamená proměnlivou tloušťku slupky, např. $da={\sigma }_x\cdot dt$ , $db={\sigma }_y\cdot dt$ atd.)

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot a\cdot b\cdot c=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot t^3\cdot {\sigma }_x\cdot {\sigma }_y\cdot {\sigma }_z,$

$dV=4\pi \cdot {\sigma }_x\cdot {\sigma }_y\cdot {\sigma }_z\cdot t^2\ dt .$

Pravděpodobnost, že bod (chyba) padne do elementární slupky, bude součinem jejího objemu a příslušné sdružené hustoty pravděpodobnosti

$P^{t+dt}_t={\varphi }_3\left(x,y,z\right)dV=\sqrt{\frac{2}{n}}\cdot t^2\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}dt=2t^2\cdot {\varphi }_1\left(t\right)dt .$

Pravděpodobnost, že chyba bude ležet uvnitř elipsoidu o parametru $t$ , dostaneme integrací předchozí rovnice

${\Phi }_3\left(t\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\int^t_0{t^2\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}dt}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\int^t_0{e^{-\frac{t^2}{2}}dt}-\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cdot t\cdot e^{-\frac{t^2}{2}} .$

Porovnáme poslední rovnici s rovnicemi pro jednorozměrné a dvojrozměrné chyby a dostaneme

${\Phi }_3\left(t\right){\rm =}{\varphi }_{{\rm 1}}\left(t\right){\rm -}\sqrt{\frac{{\rm 2}}{\pi }}\cdot {\varphi }_{{\rm 2}}\left(t\right){\rm =}{\varphi }_{{\rm 1}}\left(t\right){\rm -2}\cdot {\rm t}\cdot {\varphi }_{{\rm 1}}\left(t\right) ,$

takže k sestavení tabulky použijeme již tabelovaných hodnot.

Pravděpodobnost, že chyba padne do středního elipsoidu chyb ( $t=1$ ), je asi 20%. „Mezní elipsoid“ jako kritérium pro odhalení hrubých chyb zvolíme opět pro ${\Phi }_3(t)=99\%$ , $t_{\alpha }=3,4$ .

Vliv systematické chyby ve směru některé osy by se projevil větší odchylkou polohy těžiště $T$ od středu souřadnic $0$ , než je obvyklé kritérium, např. v případě $x_T>{\sigma }_x/\sqrt{n}$ (střední chyba aritmetického průměru).

Při stočení os elipsoidů chyb proti osám souřadnic ( $x$ , $y$ , $z$ ) je opět třeba provést transformace souřadnic a hledat stočení o směrové kosiny za podmínky dosažení extrémních hodnot pro součty čtverců chyb na nových osách.

Poznámka: Podle uvedených postupů můžeme čistě matematickou cestou odvodit zákon rozdělení $n$ -rozměrných chyb, kde $n$ je libovolně veliké celé číslo. Praktický význam mají však chyby nejvýše čtyřrozměrné; např. zaměřování polohy pohyblivého cíle v prostoru vždy k určitému okamžiku by přidalo k odchylkám $x$ , $y$ , $z$ ve směrech prostorových os ještě odchylky (zpoždění nebo předstih) k daným okamžikům.

« 7. Chyby dvojrozměrné
» 9. Zákon hromadění skutečných chyb