04_teorie_chyb:0409_zakon_hromadeni_skut_chyb | IngGeo

« 8. Zákon rozdělení chyb v prostoru
» 10. Zákon hromadění středních chyb

9. Zákon hromadění skutečných chyb

Skutečná chyba funkce měřených veličin

Číselné hodnoty udávající výsledky měření jsou poněkud jiného druhu než „čistá“ čísla v matematickém smyslu. Ke každé nalezené hodnotě $l$ měřené veličiny $L$ patří skutečná chyba $\varepsilon$ anebo obor nejistoty (nepřesnosti), s jakou byl výsledek určen. Nepracujeme proto s přesnými čísly, ale s hodnotami přibližnými. Standardní možnou odchylku udává střední kvadratická chyba ${\overline{m}}_l$ ; v praxi se obvykle uvažuje tzv. variační obor (interval spolehlivosti) $l\pm 2,5\cdot {\overline{m}}_l$ , ve kterém s praktickou jistotou leží neznámá skutečná hodnota $L$ měřené veličiny. Výsledek měření se svou střední chybou tvoří vždy pár sdružených čísel ( $l$ ; $\overline{m}$ ). Měřená hodnota a její střední chyba se musí při zpracování dat uplatňovat vždy společně: nejistota naměřeného výsledku se totiž přenáší na součet, násobek nebo jinou libovolnou funkci měřených veličin. Při odhadu střední chyby z daného výběru se musíme spokojit s empirickou (výběrovou) střední chybou $m_l$ a výsledkem ( $l$ ; $m_l$ ).

Pravidla, podle nichž lze určit vliv chyb v měřených veličinách na jejich funkce, se shrnují pod názvem „zákon přenášení (hromadění) chyb“. Je to nejdůležitější zákon v oboru praktického měření. Jedině jeho dokonalá znalost vede k ekonomickému měření a počítání, tj. k vypracování takové metody měření, konstrukce přístroje nebo početního postupu, kdy dosáhneme požadované přesnosti výsledku s nejmenším vynaložením času a sil.

V této části budeme uvažovat měření nebo chyby vzájemně nezávislé (nekorelované). Obecnější zákon při působení systematických chyb nebo při korelaci bude podán později.

Řešme úlohu odhadnout skutečnou chybu funkce

$f=f\left({{\mathbf l}}^T\right)$

nebo obecněji

$g\left(f\right)=f\left({{\mathbf l}}^T\right)$

naměřených nezávislých veličin ${\mathbf l}$ , jejichž skutečné chyby ${\mathbf \varepsilon }$ známe. Tento předpoklad nebude většinou splněn. Pro další odvození požadujeme splnění těchto předpokladů:

funkce $f$ , $g$ mají spojité parciální derivace podle jednotlivých proměnných alespoň druhého řádu;
skutečné chyby všech proměnných jsou relativně malé.

Označíme-li správné hodnoty funkce $F=f+{\varepsilon }_f$ a měření ${\mathbf L}={\mathbf l}+{\mathbf \varepsilon }$ , můžeme napsat

$F{\rm =}f{\rm +}{\varepsilon }_f{\rm =}f\left({{\mathbf l}}^T{\rm +}{{\mathbf \varepsilon }}^T\right),$

odkud

${\varepsilon }_f=f\left({{\mathbf l}}^T{\rm +}{{\mathbf \varepsilon }}^T\right){\rm -}f.$

Provedeme rozvoj funkce $f$ v Taylorovu řadu a omezíme se na členy 1. řádu:

${\varepsilon }_f=f\left({{\mathbf l}}^T\right){\rm +}{\left.\frac{\partial {\rm f}}{\partial {\mathbf L}}\right|}_{L=l}\cdot \varepsilon {\rm -}f$

a při označení vektoru parciálních derivací

${\left.\frac{\partial {\rm f}}{\partial {\mathbf L}}\right|}_{L=l}=\left(\frac{\partial {\rm f}}{\partial l_1},\frac{\partial {\rm f}}{\partial l_2},\ \dots ,\frac{\partial {\rm f}}{\partial l_n}\right)={{\mathbf f}}^T_l,$

dostaneme tzv. „zákon hromadění skutečných chyb“:

${\varepsilon }_f={{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }.$

Podobně pro obecnější model bude platit vztah:

$g\left(f+{\varepsilon }_f\right)\ =\ f\left({{\mathbf l}}^T\ +\ {{\mathbf \varepsilon }}^T\right).$

Pravou stranu rovnice upravíme jako v předchozím postupu a levou stranu rozvedeme Taylorovou řadou s omezením na členy prvního řádu:

$g\left(f\right)+{\left.\frac{\partial g}{\partial f}\right|}_{F=f}\cdot {\varepsilon }_f=f\left({{\mathbf l}}^T\right)+f^T_l\cdot \varepsilon ,$

kde označíme derivaci $g_f={\left.\frac{\partial g}{\partial f}\right|}_{F=f}$ při platnosti $g_f\ne 0$ . Dostaneme tak obecnější vyjádření zákona hromadění skutečných chyb

${\varepsilon }_f=\frac{1}{g_f}{{\mathbf f}}^T_{{\rm l}}\cdot {\mathbf \varepsilon }.$

Pro praktické výpočty stačí do parciálních derivací dosazovat naměřené, nebo přibližné hodnoty proměnných. Uvedené vztahy se dají použít i pro obrácenou úlohu.

« 8. Zákon rozdělení chyb v prostoru
» 10. Zákon hromadění středních chyb