« 13. Metoda nejmenších čtverců 14. Vyrovnání přímých měření ÚvodDo této kategorie zahrnujeme nejjednodušší případy vyrovnání, kdy měření jediné neznámé veličiny bylo několikrát opakováno. Jednotlivá měření byla provedena buď se stejnou, nebo různou přesností. Stejná přesnost dvou měření neznamená, že se oba výsledky liší o stejnou absolutní hodnotu od skutečné hodnoty měřené veličiny. V teorii chyb stejná přesnost znamená stejně přesnou metodu a stejné normální podmínky měření (stejnou skladbu elementárních chyb) neboli stejnou předem danou základní střední chybu v řadě měření. To také vyjadřuje, že všechna měření patří k témuž základnímu souboru možných výsledků měření (, ). Aritmetický a obecný průměrFormulace úlohyMěření jedné veličiny několikrát opakujeme třeba i s různě přesnými pomůckami. Tento výběr , … , bude tedy pocházet z různých souborů. Obdržíme proto různorodý soubor (vlivem různé nenulové přesnosti). Přesnost každého měření je předem určena střední chybou , . Zavedení vah formálně převádí směs různě přesných souborů na jednotný tzv. normovaný soubor o stejné základní přesnosti. Hledáme takovou velikost proměnné , která bude vyhovovat podmínce ; nazveme vyrovnanou veličinou. Postup řešeníVektor oprav má jednodušší tvar než u obecného vyrovnání, protože jde o nejjednodušší funkci jedné proměnné , pro všechna . Maticově:
kde je jednotkový vektor. Splnění podmínky :
konkrétně pro náš případ:
Po zkrácení dvěma a dosazení za dostaneme:
a z toho: , v „klasickém zápise“, . Vzorec ukazuje výpočet tzv. obecného (váženého) průměru. Pro případ stejně přesných měření je a vzorce se zjednoduší: , v „klasickém zápise“, a mluvíme o prostém aritmetickém průměru. Důležitou kontrolou je , „klasicky“ . V případě prostého aritmetického průměru platí . Střední chyba obecného průměruBěhem řady opakovaných měření téže veličiny jsou konstantní a předem dány skutečná hodnota veličiny a základní střední chyby plynoucí z podmínek měření. Provedená řada (statistický soubor) měření je jen náhodný výběr ze základního souboru (jednoho, nebo více), kde se náhodně uplatnily jen některé chyby. Kdybychom provedli takových náhodných výběrů, dostaneme pokaždé jiné soubory měření s jinými soubory chyb, které mohou dát pokaždé jiný výběrový průměr , zatížený pokaždé jinou skutečnou chybou . Skutečné chyby výběrových průměrů působí rozptyl průměrů kolem skutečné hodnoty . Se zřetelem k vlastnostem náhodných chyb platí . Varianci výběrových průměrů odvodíme ze vztahu pro vážený průměr, který splňuje předpoklady pro aplikaci zákona hromadění středních chyb . Po dosazení konkrétního a s uvážením, že platí dostaneme po úpravě:
, „klasicky“ . Pro případ aritmetického průměru, kde všechna , se vztah upraví na:
kde jako míra přesnosti průměru charakterizuje koncentraci možných výběrových průměrů kolem skutečné hodnoty měřené veličiny. Použijeme-li interval spolehlivosti, pak např. pro riziko očekáváme, že chyba nepřekročí meze a skutečná hodnota bude ležet v mezích .
Obr. 1 Vývoj střední chyby výběrového průměru
« 13. Metoda nejmenších čtverců |