« 15. Vyrovnání zprostředkujících měření
» 17. Kombinované vyrovnání
16. Vyrovnání podmínkových měření
V geodetické praxi se často měří veličiny, pro které platí přesné matematické vztahy. Např. skutečné hodnoty úhlů v rovinném trojúhelníku vždy splňují podmínku uzávěru , mezi délkami a úhly platí sinová věta např. , součet převýšení po obvodě uzavřeného polygonu , atd.
Měříme-li tyto veličiny v nadbytečném počtu (třetí úhel nebo další stranu v trojúhelníku apod.), pak vlivem měřických chyb nesplní naměřené hodnoty přesně dané podmínky. Abychom nalezené nesouhlasy odstranili, musíme k nim připojit opravy, tj. provedeme jejich vyrovnání. Předpokladem vyrovnání je měření aspoň jedné nadbytečné veličiny. Kdybychom vyrovnání neprovedli, dostávali bychom v geodetické síti různou výpočetní cestou různé číselné hodnoty pro délku téže strany, pro souřadnice nebo výšku téhož bodu apod.
Je dáno měření s vahami . Skutečné hodnoty měřených veličin splňují přesně vztahů ( je počet nadbytečných měření), tzv. podmínkových rovnic
Splnění totožných vztahů budeme žádat i pro vyrovnané veličiny:
Naměřené veličiny tyto vztahy vlivem měřických chyb nesplní
Vypočtené odchylky nazveme uzávěry.
Naším úkolem je připojením oprav naměřeným hodnotám uzávěry anulovat. Takovýchto řešení by bylo nekonečně mnoho, protože počet hledaných oprav (tj. počet provedených měření ) je větší než počet vztahů . Aby řešení bylo jednoznačné, přidáme další podmínku. V našem případě je to podmínka MNČ
Pro jednoduchost řešení předpokládáme podmínkové rovnice vzájemně nezávislé s minimálním počtem proměnných. Počet podmínek musí odpovídat nadbytečnému počtu měření. Je třeba uvážit, že vyrovnání splní i nesmyslné podmínky a naopak neformulované podmínky nebudou splněny.
Původní podmínkové rovnice tvaru mohou být lineární i nelineární. Pro další výpočty musí být vždy linearizovány. Po dosazení provedeme rozvoj v Taylorovu řadu s uvážením pouze členů 1. řádu. To předpokládá opravy řádově malé, což je většinou splněno.
Dále zavedeme označení: a
a můžeme zapsat tzv. přetvořené podmínkové rovnice:
Kdybychom zcela obdobně rozvedli v řadu podmínkovou rovnici, osvětlí se tím vznik uzávěrů:
Porovnání předchozích dvou vzorců ukazuje stejnou stavbu vztahů, ale přitom !
Další postup řešení může být dvojí:
Přechod na vyrovnání zprostředkujících měření je vždy možný, ale ne vždy v praxi výhodný. Proto se s ním zde nebudeme zabývat.
Tento postup se používá nejčastěji pomocí tzv. Lagrangeových koeficientů, které mají název koreláty (Gauss). Mějme přetvořené podmínkové rovnice:
v maticovém zápisu pro měřených hodnot s váhami . Opravy jsou vázány uvedenými podmínkami, přičemž současně klademe hlavní podmínku V tomto případě použijeme Lagrangeova postupu, kdy vynásobíme vedlejší podmínky dvojnásobky zatím neurčených koeficientů (korelát) , přičteme je k funkci a budeme hledat minimum pro celý součet
Derivujeme a pro určení minima položíme rovno nule:
a odtud získáme tzv. rovnice oprav
Dosadíme-li předchozí vzorec do přetvořených podmínkových rovnic, dostaneme normální rovnice pro výpočet pomocných neznámých :
Zde můžeme označit , což v klasickém zápise značí:
když prvky na diagonále matice označíme . Matice je opět symetrická. Počet normálních rovnic je shodný s počtem podmínek. Řešení můžeme zapsat ve tvaru:
Pomocí korelát vyčíslíme hodnoty jednotlivých oprav, které jsou vlastním cílem vyrovnání. Z nich pak vypočteme vyrovnané veličiny , které (při správném výpočtu) splňují předem stanovené podmínky.
V plném rozsahu jsou matice a vektor kontrolovány až závěrečnou kontrolou dosazením vyrovnaných hodnot do původních podmínek. Proto vítanou kontrolou je dále odvozený vztah, který můžeme vyčíslit okamžitě po linearizaci. Zavedeme fingovaná měření , (kde jednička má rozměr počítaného ) a upravíme Taylorovým rozvojem výraz:
(V klasickém zápise 1. rovnice: . Tedy:
Další výpočet provádí zpravidla počítačový program automaticky, nicméně naprogramování kontroly není na škodu. Opravy se překontrolují dosazením do přetvořených podmínkových rovnic, což je současně kontrola výpočtu korelát, dále kontroluje výpočet korelát a výpočet oprav, a sestavení koeficientů normálních rovnic. Nekontroluje výpočet uzávěrů a koeficientů přetvořených podmínkových rovnic.
Vyrovnané veličiny dosadíme do původních podmínek . Splnění těchto rovnic (až na chyby ze zaokrouhlení) a současné splnění rovnice je kontrolou správnosti celého výpočtu. (Nekontroluje chybně sestavené podmínky!)
Případný nesouhlas splnění podmínkových rovnic může být též způsoben zanedbáním nezanedbatelných členů vyššího řádu v Taylorově rozvoji.
K testování vyrovnaných hodnot stačí vypočítat tyto střední chyby (nebo odhady):
Pro výpočet odhadu střední chyby jednotkové platí vzorec:
Právě tak platí pro aposteriorní odhad střední chyby jednotlivých provedených měření:
Pro odhad střední jednotkové chyby vyrovnaných měření platí:
Tyto střední chyby se počítají z univerzálního vztahu
Odvodíme vztah pro výpočet . Mějme libovolnou funkci vyrovnaných veličin
Pro odvozování je výhodné rozložit vektor měření a protože platí , platí pro uzávěr:
Vztah pro funkci vyrovnaných veličin můžeme rozvést v Taylorovu řadu s omezením na členy prvého řádu:
kde jsme označili
Do této rovnice dosadíme postupně za a dále za a za . Členy nezávislé na provedeném měření spojíme a označíme :
Na tento vztah aplikujeme zákon hromadění vah při zavedeném označení
Po úpravě, a protože se poslední dva členy po úpravě anulují, dostaneme:
kde
Pro všechna vyrovnaná měření pak platí:
s kontrolou .
« 15. Vyrovnání zprostředkujících měření
» 17. Kombinované vyrovnání