Obsah
« 5. Intervalové odhady 6. Vícerozměrná náhodná veličina ÚvodVícerozměrnou, přesněji -rozměrnou náhodnou veličinou budeme nazývat -rozměrný vektor, jehož všechny složky jsou náhodné veličiny. Podrobně si všimneme dvojrozměrné náhodné veličiny - tedy náhodného vektoru . Její zákon rozdělení může být popsán ve formě tzv. sdružené distribuční funkce , která je definována jako pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší než a současně náhodná veličina hodnoty menší než , tj.
Sdružená distribuční funkce má tyto vlastnosti: Její hodnoty leží v intervalu , je funkcí neklesající a spojitou zleva vzhledem ke každé z náhodných veličin. Splňuje podmínky:
Pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty z intervalu a současně náhodná veličina hodnoty z intervalu bude
tedy
Uvažujeme-li pouze pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší než bez jakéhokoliv omezení veličiny (tedy v celém možném rozsahu), potom
a pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší než bez ohledu na hodnotu veličiny , bude
Vidíme, že se jedná o jednorozměrné distribuční funkce, které se nazývají marginální (okrajové) distribuční funkce veličiny (s indexem 1), respektive (s indexem 2). Jestliže každá veličina může nabýt pouze spočetného počtu hodnot (obě veličiny jsou diskrétní), vyjadřujeme jejich zákon rozdělení také sdruženými pravděpodobnostmi, že náhodná veličina nabude hodnoty a současně náhodná veličina nabude hodnoty , tj.
pro které platí:
A také platí:
Marginální pravděpodobnosti jsou součtem sdružených pravděpodobností přes všechny hodnoty druhé veličiny a označíme je podobně pomocí indexů 1,2:
U spojitých náhodných veličin existuje funkce taková, že
Indexem 2 u zdůrazňujeme, že se jedná o funkci dvojrozměrné náhodné veličiny. Funkce je sdružená hustota pravděpodobnosti náhodných veličin v bodě , splňující podmínku nerovnosti a podmínky
Charakteristiky vícerozměrné náhodné veličinyZákladními charakteristikami dvojrozměrné náhodné veličiny jsou jako u jednorozměrných rozdělení charakteristiky polohy, proměnlivosti, šikmosti a špičatosti, které informují o tvaru marginálního rozdělení veličiny a marginálního rozdělení veličiny . Všechny uvedené charakteristiky popisují rozdělení náhodných veličin, neříkají však nic o intenzitě (těsnosti) vztahu mezi oběma veličinami. Těsnost vztahu měří kovariancekovariance , která je definována jako střední hodnota součinu odchylek obou veličin od jejich středních hodnot
Pro její výpočet se prakticky používá tvar
Na kovarianci je založen koeficient korelace
který je bezrozměrnou charakteristikou těsnosti lineárního vztahu mezi dvěma veličinami. Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu . Jestliže je koeficient korelace nulový, potom veličiny se nazývají veličinami nekorelovanými. Tyto hodnoty nemusí být nezávislé, jelikož nulová hodnota korelačního koeficientu je nutnou, ale není podmínkou postačující pro nezávislost veličin. Může existovat velmi těsný, ale nelineární regresní vztah, na který není koeficient korelace citlivý. Charakteristiky -rozměrné náhodné veličiny (náhodného vektoru) jsou střední hodnota a kovariance společně s variancemi ve formě kovarianční matice při označení a .
Matice je symetrická matice, pro kovariance platí , na hlavní úhlopříčce jsou variance jednotlivých veličin. Z prvků kovarianční matice mohou být vypočteny hodnoty korelačních koeficientů
které lze sestavit do tzv. korelační matice
která je opět symetrická, protože platí . Vícerozměrné normální rozdělení pravděpodobnostiZ vícerozměrných normálních rozdělení je pro geodézii nejdůležitější dvojrozměrné normální rozdělení, což je rozdělení náhodné veličiny se sdruženou hustotou pravděpodobnosti
kde , jsou střední hodnoty, a variance a koeficient korelace mezi oběma veličinami. V případě nezávislosti obou veličin je a jejich sdružená hustota pravděpodobnosti je
|