« 10. Zákon hromadění středních chyb 11. Zákon hromadění chyb při působení systematických chyb ÚvodObecný zákon hromadění chyb platí i pro závislé veličiny, jejichž závislost je způsobena vlivem systematických chyb. V četných případech praxe jej můžeme zjednodušit. V maticovém zápise není také vidět působení vlivů jednotlivých druhů chyb. Proto ukážeme napřed na jednoduchých případech zjednodušené vzorce a to v klasickém zápise. Výchozí vztah pro úpravu bude vzorec:
kde kromě známých symbolů vyjadřuje kovarianci (závislost) veličin a . Případ konstantní chybyKorelaci ve skupině měření, kde , působí pouze neznámá konstantní chyba , takže platí: , a výsledný vztah pak
Střední chyba reprezentuje základní soubor všech možných hodnot systematické chyby v různých skupinách (konstantní hodnotu má jen v dané skupině). Při současném působení náhodných chyb i systematické chyby je třeba odděleně vypočítat úhrnný vliv každé složky na funkci měřených veličin a pak teprve je kvadraticky sečíst, abychom dostali úplnou střední chybu funkce.
Při působení systematické chyby roste u součtu měřených veličin střední chyba rychleji než s odmocninou z počtu veličin. U mnoha veličin může účinek malé systematické chyby převýšit vliv i větší náhodné střední chyby.
Přitom střední chyba jednoho měření , takže . Při působení systematické chyby neklesá střední chyba průměru s odmocninou počtu opakovaných měření (takto klesne jen vliv náhodné složky). Případ skupinové chybyMějme velký soubor opakovaných měření nebo chyb, který rozdělíme naskupin uspořádaných podle stejných podmínek měření, které jsou pramenem systematické chyby skupinové, nekorelované mezi skupinami. Označme počet všech měření nebo chyb, , , …, počty v jednotlivých skupinách, , , relativní četnost v -té skupině, , ,…, náhodné chyby, proměnlivé od měření k měření, vzájemně , nezávislé a působící rozptyl jednotlivých měření, , , …, skupinové systematické chyby (nebo jejich průměrné hodnoty), zatěžující stejnou hodnotou všechna měření uvnitř skupiny, ale proměnlivé od skupiny ke skupině (), jejich průměrná hodnota jakoby utajená konstantní chyba pro všechny skupiny (pro všechna možná měření), redukované skupinové chyby, stálé a utajené uvnitř skupiny, ale proměnlivé od skupiny ke skupině a ovlivňující rozdíly mezi skupinovými průměry. Mají charakter opravy průměru (). V základním smíšeném souboru všech hodnot , platí:
Úplná chyba a úplná variance (čtverec úplné střední chyby):
V případě stejně velikých skupin , :
Zejména nyní je zřejmé, jak se každý druh chyb hromadí podle jiného zákona. Klasický zákon přenášení středních chyb platí jen pro náhodnou složku ().
a v případě stejně velikých skupin
V aritmetickém průměru klesá vliv střední kvadratické chyby náhodné s odmocninou počtu všech měření (), vliv střední proměnlivé systematické chyby skupinové s odmocninou počtu skupin se změněnými podmínkami, vliv konstantní chyby se nezmenší vůbec. Je třeba vypočítat napřed odděleně úhrnný vliv každého druhu chyb a pak je teprve kvadraticky sečíst. Je žádoucí vystřídat co nejvíce podmínky měření, aby konstantní složka chyb byla co nejblíže nule.
V případě nestejných vah měření bude skupinový a celkový průměr
a v rovnicích je třeba nahradit , . Při působení systematické chyby, stálé ve všech skupinách, neklesne střední kvadratická chyba celkového průměru s odmocninou počtu skupin a nelze pro určení střední chyby součtu kvadraticky sčítat střední chyby jednotlivých skupinových výsledků. V případě současného působení vzájemně nezávislých systematických chyb různého druhu , , , …, platí
a střední chyba průměru při stejně velkých skupinách u každého druhu skupinové chyby:
Na závěr ukážeme vztah pro obecný funkční vztah , kde jsou proměnné závislé. Závislost musí být dána buď kovarianční, nebo korelační maticí. K jejímu určení, či k výpočtu prvku, není obvykle dosti potřebných měření. Je-li závislost způsobena přítomností systematických chyb, musíme znát charakter jejich působení a odhad složek jednotlivých středních chyb. Obecný vztah pak lze upravit a schematicky zapsat:
kde je střední chyba náhodná, příslušející k proměnné ; bude-li pro několik proměnných stejná, upraví se prvý člen na řadu
podle počtu různých ; je součet parciálních derivací podle všech proměnných, ve kterých se uplatní stejný druh i velikost proměnlivé systematické chyby . Indexem se zde rozlišují skupiny proměnných o různé velikosti systematické chyby ; totéž pro jiný druh proměnlivé systematické chyby. Stejný druh systematické chyby se rozliší čárkami: je střední proměnlivá systematická chyba; je střední proměnlivá systematická chyba jiného druhu. Platí: . jsou různé druhy střední stálé systematické chyby. V případě její konstantní hodnoty pro všechny proměnné se poslední člen upraví na , kde , když písmenem označíme náhodnou velikost stálé systematické chyby. Jak je vidět, zapsání univerzálně platného vzorce je pracné a nepřehledné. Proto je vhodnější používat zjednodušeného zákona hromadění úplných chyb napsaného pro každou konkrétní situaci, jak bylo ukázáno výše.
« 10. Zákon hromadění středních chyb |