Obsah
« 14. Vyrovnání přímých měření 15. Vyrovnání zprostředkujících měření ÚvodZpůsobu vyrovnání zprostředkujících měření používáme v případech, kdy hledané neznámé veličiny se neměří přímo, ale určují se prostřednictvím jiných měřených veličin, které jsou s neznámými ve známém vztahu. Konaná měření se zde nazývají nepřímá neboli zprostředkující. V předešlém případě přímých měření se měřením určovala jediná neznámá veličina, nyní se může současně určovat i více neznámých. K vyrovnání dojde, jestliže konáme nadbytečná měření, takže můžeme sestavit více rovnic, než je neznámých. Zprostředkující měření jsou zatížena nevyhnutelnými chybami, které se přenášejí i na odhady neznámých. Vyrovnáním budeme hledat nejspolehlivější hodnoty neznámých a jejich střední chyby, eventuálně vyrovnaná zprostředkující měření a jejich střední chyby. Formulace úlohyHledané neznámé podléhají naší volbě. Jejich počet a charakter musí být takový, aby jednoznačně určovaly danou situaci. To znamená, že jejich počet bude odpovídat počtu nutných měření a nebudou mezi nimi existovat funkční závislosti. Potom půjde bez problémů pro každé provedené zprostředkující měření sestavit vztah typu:
Podle obecné formulace vztah upravíme na tvar: kde a jsou stejné funkce, z něhož přímo vyplývá tzv. rovnice oprav:
pro kterou požadujeme splnění podmínky Postup řešeníPředpokladem pro získání jednoduchých rovnic k výpočtu hledaných neznámých je lineární tvar rovnic oprav, kde jednotlivé neznámé jsou vzájemně odděleny. Tato tzv. linearizace se provede rozvojem funkčního vztahu v Taylorovu řadu s omezením na členy prvého řádu. Proto musíme zavést dostatečně přibližné hodnoty neznámých , dále vyjádřit , dosadit do rovnice oprav a provést rozvoj s omezením na členy prvého řádu:
Po zavedení nového označení:
a s názvem redukované měření dostaneme
Obecně předpokládáme, že každé měření bylo provedeno s různou přesností a tudíž každému měření a tedy i opravě přisoudíme různou váhu . Opět jde o jisté normování. Podmínku MNČ splníme podle známých pravidel:
Po dosazení za a krácení dvěma:
dostáváme tzv. normální rovnice. Symetrická matice se často v literatuře označuje . V upraveném klasickém zápisu má tvar:
Řešení normálních rovnic zapíšeme ve tvaru:
Z vyrovnaných přírůstků určíme hledané neznámé:
Dále vypočteme opravy:
a z nich hodnoty vyrovnaných veličin:
Metody řešení normálních rovnic rozebereme v samostatném článku. KontrolyNěkteré kontroly jsou nutné i při počítačovém zpracování. V opačném případě je kontrol daleko více a je dobré je používat. Nejnebezpečnější jsou chyby v sestavení výchozích vztahů, což nám nekontroluje nic, a chyby, kterých se dopustíme při linearizaci. Na ty se zcela přijde až při závěrečné kontrole. Pro okamžitou kontrolu je vhodný tento postup: Zvolíme nové přibližné hodnoty neznámých, zvětšené oproti prvé volbě vždy o jedničku v rozměru zavedeném pro řešené přírůstky:
kde je vektor jedniček. Sestavíme a postupně upravíme výraz:
Kontrola spočívá v porovnání dvou kontrolních symbolů . V klasickém zápise:
Kontrola kontroluje sestavení matice a vektoru . Po sestavení normálních rovnic a jejich řešení je vhodné provést kontroly dříve nazývané sigmovými zkouškami:
a kontrola
Klasicky:
Rovnost (kde první symbol znamená po tzv. -té redukci) uplatníme hlavně pro pozdější odvození z oprav. Tyto vztahy kontrolují výpočet koeficientů normálních rovnic, výpočet neznámých , výpočet oprav a . Nejdůležitější je závěrečná kontrola. Je jí dvojí výpočet oprav ze vzorců:
Nesouhlas při splnění ostatních kontrol, ukazuje na chybu v linearizaci nebo chybné připojení přírůstků . Střední chybyPro hodnocení důvěryhodnosti vyrovnaných hodnot používáme tyto střední chyby:
Odhad jednotkové střední chybyStřední chyba jednotková se používá pro výpočet všech středních chyb podle univerzálního vzorce:
Jednotlivá měření mohou vstupovat do vyrovnání se známými středními chybami nebo jejich odhady , vypočítanými např. z rozporů mezi opakovanými měřeními téže veličiny . Známe-li hodnoty , známe předem i jednotkovou střední chybu
Nezávisle na těchto číselných hodnotách můžeme znovu odhadnout číselné hodnoty střední chyby jednotkové i středních chyb jednotlivých měření z provedeného vyrovnání, tj. z oprav , neboli z rozporů mezi naměřenými a vyrovnanými hodnotami souboru všech měření . Jednotlivé číselné hodnoty jsou náhodným výběrem ze základních souborů všech možných hodnot každého jednotlivého měření. Při opakování měření dostáváme opět jiný výběr číselných hodnot . Proto hodnoty , vyčíslené z oprav budou náhodné veličiny a pouze odhady skutečných středních chyb , (parametrů rozdělení). Proto můžeme označit také jako „výběrovou“ jednotkovou střední chybu. Výpočetní vzorce jsme definovali:
Skutečné chyby však zůstávají neznámé a musíme je proto nahradit opravami . Stavba rovnic oprav
platí i pro skutečné chyby (podle zákona hromadění):
Vytvoříme rozdíl a po úpravě dostaneme rovnici oprav novém tvaru:
Splnění podmínky pro předchozí vztah by vedlo k normálním rovnicím pro neznámé , ale také ke vztahu:
kde značí Gaussův symbol -té redukce při výpočtu Gaussovou eliminací. Platí též:
Vždy platí . Ve vztahu zavedeme střední hodnoty a podle definic i střední chyby. Vztah budeme upravovat v klasickém zápisu. Po kratších úpravách obdržíme:
přičemž se tolikrát odečte , kolik je normálních rovnic (neznámých). Podle tohoto vztahu odvodíme rovnici pro odhad jednotkové střední chyby z daného výběru oprav
kde je počet nadbytečných měření. je aposteriorní odhad jednotkové střední chyby (měření o váze ), neboli empirická jednotková střední chyba plynoucí z vyrovnání (z oprav) zprostředkujících měření. Hodnota je náhodná a závislá na náhodném střetnutí hodnot skutečných chyb . Kromě výpočtu , které můžeme též považovat za „průměrnou“ přesnost vstupujících měření (vztaženo k váze 1):
můžeme odhadnout i „průměrnou“ přesnost vystupujících vyrovnaných měření:
charakterizuje soubor zbylých chyb ve vyrovnaných veličinách , koeficient znamená průměrné zmenšení původních standardů (průměrné zvýšení přesnosti) vyrovnáním souboru měření. Operacemi vyjádříme libovolnou vyrovnanou neznámou jako lineární funkci všech zprostředkujících měření. Analogicky operacemi vyjádříme zbylou chybu ve vyrovnané neznámé jako lineární funkci původních skutečných chyb ve všech měřených veličinách (). Konečný tvar lze zapsat:
Koeficient udává, jakým podílem své skutečné hodnoty se původní chyba podílí na vytvoření číselné hodnoty zbylé chyby . Matice koeficientů takto dává informaci o zákonech přenášení původních chyb, např. ve vyrovnané síti (i o stochastických vztazích mezi vyrovnanými veličinami) a slouží jako „modelová“ matice pro zkoumání efektivnosti měření. Střední chyby vyrovnaných neznámýchPočítají se ze vzorce:
Kde jsou diagonální prvky matice . Výpočet této matice se odvodí podle zákona hromadění vah:
aplikací na vztah
Zde jsou jednotlivé neznámé vyjádřeny jako funkce původních nezávislých měření a můžeme proto opět použít zákon hromadění vah. Dosadíme a použijeme platné vztahy: , , , , . Obdržíme:
Potřebné elementy získáme tedy z inverzní matice soustavy normálních rovnic.
« 14. Vyrovnání přímých měření |