Obsah
« 4. Některá rozdělení náhodných veličin 5. Intervalové odhady ÚvodZ charakteristik rozptylu, polohy a vlastností jednotlivých rozdělení umíme sestavit tzv. intervaly spolehlivostiinterval spolehlivosti, tj. stanovit intervaly, ve kterých s jistou pravděpodobností budeme očekávat naměřené hodnoty . Tento odhad později rozšíříme na očekávání, jak daleko od vypočtené hodnoty (získané např. vyrovnáním) může být hodnota pravá . Interval spolehlivosti se obvykle vyjadřuje ve tvaru:
kde násobek je v souvislosti s hladinou významnosti podle vzorců normálního rozdělení a vztah je pro naše potřeby tabelován. Např. pro nejpoužívanější je a znamená to, že s pravděpodobností 0,99 se naměřená hodnota pohybuje od pravé hodnoty až do vzdálenosti . Čili teoreticky jen 1% výsledků měření (či výpočtů) by mělo překročit tyto meze, což bereme jako velmi nepravděpodobné (i když možné) a tyto výsledky již neuvažujeme. V dalším rozebereme některé tyto skutečnosti podrobněji. Bodový odhadBodový odhad spočívá v nahrazení neznámé hodnoty parametru rozdělení nebo jeho funkce hodnotou výběrové charakteristiky nebo výběrové funkce. Hlavní úlohou teorie bodového odhadu je určení vhodné charakteristiky pro tento účel. Nahradíme-li neznámý parametr výběrovou hodnotou nějaké charakteristiky , pak rozdíl je výběrová chyba odhadu . Z hlediska pravděpodobnosti je tento rozdíl náhodnou veličinou a pro hodnocení kvality odhadu je potřeba studovat její rozdělení (zejména střední hodnotu a varianci). Charakteristiku považujeme za tzv. konsistentní (vhodný) odhad tehdy, jestliže platí o její pravděpodobnosti
kde je rozsah výběru a libovolně malé číslo. Charakteristika, pro kterou platí se nazývá nestranným (nevychýleným) odhadem. Při nestranném odhadu nedochází k systematickému nadhodnocování nebo podhodnocování hodnoty parametru, protože střední hodnota výběrové chyby je nulová . Sledujeme-li u některých charakteristik, které jsou nestranným odhadem parametru , jak se jejich hodnoty kumulují kolem , vyšetřujeme tzv. vydatnost odhadu. Vydatnost odhadu měříme variancí , přičemž za lepší (vydatnější) považujeme tu charakteristiku, která má menší varianci. Jelikož výběrová chyba kolísá případ od případu, můžeme přesnost odhadu vyjádřit tak, že určíme její „střední“ velikost. Běžně užívanou mírou je střední chyba odhadu
kterou je vhodné pro získání představy o přesnosti uvést u výsledku bodového odhadu. Intervalový odhadIntervalový odhad je založen na vytvoření intervalu, ve kterém s jistou zvolenou pravděpodobností můžeme očekávat hodnotu neznámého parametru . Interval od do nazveme procentním intervalem spolehlivosti parametru , pokud platí:
Číslo pro se nazývá koeficient spolehlivosti a se nazývá hladina významnosti nebo riziko. Volíme-li koeficient spolehlivosti blízký jedné (většinou 0,95 nebo 0,99), lze s touto velkou pravděpodobností očekávat, že náhodný interval obsahuje bod . Jsou-li udány obě hranice intervalu, mluvíme o oboustranném intervalu, je-li dána pouze horní nebo dolní hranice, mluvíme o jednostranném intervalu spolehlivosti. Konstrukce intervalů spolehlivostiJak jsme se již zmínili, interval spolehlivosti může být:
Obr. 1 Intervaly spolehlivosti Intervaly spolehlivosti pro parametry normálního rozděleníInterval spolehlivosti pro střední hodnotu základního souboruMějme náhodný výběr z rozdělení . Odlišíme případ, kdy známe a kdy neznáme varianci . Uvažujme případ, kdy známe a hledáme interval spolehlivosti pro parametr . Nestranným odhadem parametru je výběrový průměr
vytvoříme funkci
který má rozdělení , tj. rozdělení, nezávislé na neznámém parametru . Pro daná a , najdeme z tabulek normálního rozdělení hodnoty: a , které použijeme pro rovnici
Po úpravě nerovnosti na levé straně rovnice bude procentní interval spolehlivosti pro parametr
V případě a dostáváme jednostranný (levostranný) interval spolehlivosti
a v případě a dostáváme jednostranný (pravostranný) interval spolehlivosti
V případě, že neznáme a hledáme interval spolehlivosti pro neznámý parametr , bude opět nestranným odhadem parametru výběrový průměr , vytvoříme ale funkci
kde je výběrová střední chyba; veličina má pak Studentovo -rozdělení , kde je počet stupňů volnosti střední chyby . Další postup je obdobný jako v případě známého . Pro daná a při můžeme vytvořit tyto procentní intervaly spolehlivosti:
kde hodnoty , , nebo vyhledáme z tabulek Studentova rozdělení.
Interval spolehlivosti pro varianci základního souboruMějme náhodný výběr z rozdělení . Odlišíme případ, kdy známe a kdy neznáme střední hodnotu . Uvažujme případ, kdy známe a hledáme interval spolehlivosti pro parametr . Nejlepším nestranným odhadem parametru je je charakteristika
Protože veličina
má -rozdělení , platí rovnice
kde a jsou kritické hodnoty rozdělení vyhledané v tabulkách pro hodnoty a , kde . Je tedy procentním intervalem spolehlivosti pro parametr interval
a procentním intervalem spolehlivosti pro střední kvadratickou odchylku interval
Z uvedených vzorců pro oboustranný interval spolehlivosti se dostanou vzorce pro jednostranné intervaly tak, že položíme
V případě, že neznáme a hledáme interval spolehlivosti pro parametr , je nejlepším nestranným odhadem charakteristika
Protože veličina
má rozdělení , kde je počet stupňů volnosti , dostaneme obdobnou úvahou jako u známého procentní interval spolehlivosti pro parametr
a procentní interval spolehlivosti pro střední kvadratickou odchylku
Kde a jsou kritické hodnoty rozdělení a je počet stupňů volnosti při určování . V případě, že určíme jako výběrový průměr, pak . Jednostranné intervaly určíme obdobným způsobem jako při známém .
« 4. Některá rozdělení náhodných veličin |